En geometría diferencial , en la categoría de variedades diferenciables , una variedad fibrosa es una inmersión sobreyectiva
es decir, un mapeo sobreyectiva diferenciable tal que en cada punto y ∈ E el mapeo tangente
es sobreyectiva, o, equivalentemente, su rango es igual a dim B . [1]
Historia
En topología , las palabras fibra ( Faser en alemán) y espacio de fibra ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Seifert en 1932, pero sus definiciones se limitan a un caso muy especial. [2] La principal diferencia con la concepción actual de un espacio de fibra, sin embargo, era que para Seifert lo que ahora se llama el espacio de base (espacio topológico) de un espacio de fibra (topológico) E no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de E . La primera definición de espacio de fibra la dio Hassler Whitney en 1935 con el nombre de espacio de esfera , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a haz de esferas . [3] [4]
La teoría de los espacios con fibras, de los cuales los paquetes de vectores , los principales , las fibraciones topológicas y las variedades de fibras son un caso especial, se atribuye a Seifert , Hopf , Feldbau , Whitney , Steenrod , Ehresmann , Serre y otros. [5] [6] [7] [8] [9]
Definicion formal
Un triple ( E , π , B ) donde E y B son variedades diferenciables y π : E → B es una inmersión sobreyectiva, se llama variedad fibrosa . [10] E se llama espacio total , B se llama base .
Ejemplos de
- Cada haz de fibras diferenciables es una variedad de fibras .
- Cada espacio de cobertura diferenciable es un colector de fibras con fibra discreta.
- En general, un colector de fibras no necesita ser un haz de fibras: diferentes fibras pueden tener diferentes topologías. Un ejemplo de este fenómeno se puede construir tomando el paquete trivial ( S 1 × ℝ, π 1 , S 1 ) y eliminando dos puntos en dos fibras diferentes sobre la variedad de base S 1. El resultado es una nueva variedad de fibras donde todos los fibras excepto dos están conectadas.
Propiedades
- Cualquier sobreyectiva sumersión π : E → B está abierto: para cada abierto V ⊂ E , el conjunto π ( V ) ⊂ B está abierto en B .
- Cada fibra π -1 ( b ) ⊂ E , b ∈ B es una subvariedad incrustado cerrado de E de dimensión dim E - dim B . [11]
- A Fibered admite secciones locales múltiples: Para cada y ∈ E existe un entorno abierto U de π ( y ) en B y un mapeo lisa s : U → E con π ∘ s = Id U y s ( π ( y )) = y .
- A surjection π : E → B es un colector Fibered si y sólo si existe una sección local s : B → E de π (con π ∘ s = Id B ) que pasa a través de cada uno y ∈ E . [12]
Coordenadas fibradas
Sea B (resp. E ) una variedad n -dimensional (resp. P -dimensional). Un colector de fibra ( E , π , B ) admite gráficos de fibra . Decimos que un gráfico ( V , ψ ) en E es un gráfico de fibra , o está adaptado a la inmersión sobreyectiva π : E → B si existe un gráfico ( U , φ ) en B tal que U = π ( V ) y
dónde
La condición de gráfico de fibra anterior puede expresarse de manera equivalente por
dónde
es la proyección sobre las primeras n coordenadas. El gráfico ( U , φ ) es obviamente único. En vista de la propiedad anterior, las coordenadas de fibra de un gráfico de fibra ( V , ψ ) generalmente se denotan por ψ = ( x i , y σ ) donde i ∈ {1, ..., n } , σ ∈ {1, ..., m } , m = p - n las coordenadas del gráfico correspondiente U , φ ) en B se denotan, con la convención obvia, por φ = ( x i ) donde i ∈ {1, ..., n } .
Por el contrario, si una sobreyección π : E → B admite un atlas con fibras , entonces π : E → B es una variedad con fibras.
Trivialización local y haces de fibra
Sea E → B una variedad con fibras y V cualquier variedad. Luego, una cubierta abierta { U α } de B junto con mapas
llamados mapas de trivialización , de modo que
es una trivialización locales con respecto a V . [13]
A junto colector Fibered con un colector V es un haz de fibras con fibra típica (o simplemente fibra ) V si admite una trivialización local con respecto a V . El atlas Ψ = {( U α , ψ α )} se llama entonces atlas de paquete .
Ver también
Notas
- ^ Kolář 1993 , p. 11
- ↑ Seifert, 1932
- ↑ Whitney, 1935
- ↑ Whitney, 1940
- ↑ Feldbau, 1939
- ^ Ehresman 1947a
- ↑ Ehresman, 1947b
- ^ Ehresman, 1955
- ^ Serre 1951
- ^ Krupka y Janyška 1990 , p. 47
- ^ Giachetta, Mangiarotti y Sardanashfully 1997 , p. 11
- ^ Giachetta, Mangiarotti y Sardanashfully 1997 , p. 15
- ^ Giachetta, Mangiarotti y Sardanashfully 1997 , p. 13
Referencias
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , consultado el 15 de junio de 2011
- Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Conferencias sobre invariantes diferenciales , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
- Saunders, DJ (1989), The geometry of jet bundles , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
- Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, G. (1997). Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.
Histórico
- Ehresmann, C. (1947a). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Cima. Alg. París (en francés). CNRS: 3–15.
- Ehresmann, C. (1947b). "Sur les espaces fibrés différentiables". CR Acad. Sci. París (en francés). 224 : 1611-1612.
- Ehresmann, C. (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". CR Acad. Sci. París (en francés). 240 : 1755-1757.
- Feldbau, J. (1939). "Sur la clasificación des espaces fibrés". CR Acad. Sci. París (en francés). 208 : 1621-1623.
- Seifert, H. (1932). "Topologie dreidimensionaler geschlossener Räume" . Acta Math. (en francés). 60 : 147-238. doi : 10.1007 / bf02398271 .
- Serre, J.-P. (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicaciones". Ana. de Matemáticas. (en francés). 54 : 425–505. doi : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969485 .
- Whitney, H. (1935). "Espacios de esfera" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 21 (7): 464–468. doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- Whitney, H. (1940). "Sobre la teoría de los haces de esferas" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (2): 148-153. doi : 10.1073 / pnas.26.2.148 . Señor 0001338 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
enlaces externos
- McCleary, J. "Una historia de colectores y espacios de fibra: tortugas y liebres" (PDF) .