En matemáticas , un mapa de paquetes (o morfismo de paquetes ) es un morfismo en la categoría de paquetes de fibras . Hay dos nociones distintas, pero estrechamente relacionadas, de mapa de haces, dependiendo de si los haces de fibras en cuestión tienen un espacio base común . También hay varias variaciones sobre el tema básico, dependiendo precisamente de qué categoría de haces de fibras se esté considerando. En las tres primeras secciones, consideraremos los haces de fibras generales en la categoría de espacios topológicos . Luego, en la cuarta sección, se darán algunos otros ejemplos.
Agrupa mapas sobre una base común
Dejar y ser haces de fibras más de un espacio M . Entonces, un mapa de paquete de E a F sobre M es un mapa continuo tal que . Es decir, el diagrama
debería conmutar . De manera equivalente, para cualquier punto x en M , mapea la fibra de E sobre x a la fibrade F sobre x .
Morfismos generales de los haces de fibras.
Sean π E : E → M y π F : F → N haces de fibras sobre los espacios M y N respectivamente. Luego un mapa continuose llama un mapa de paquete de E a F si hay un mapa continuo f : M → N tal que el diagrama
conmuta, es decir, . En otras palabras,es fibra de preservación , y f es el mapa inducido en el espacio de las fibras de E : desde π E es sobreyectiva, f se determina de forma única por. Para una f dada , tal mapa de paquetese dice que es un mapa de paquete que cubre f .
Relación entre las dos nociones
De ello se desprende inmediatamente de las definiciones que un mapa haz sobre M (en el primer sentido) es lo mismo que un mapa haz que cubre el mapa identidad de M .
Por el contrario, los mapas de paquetes generales se pueden reducir a mapas de paquetes sobre un espacio base fijo utilizando la noción de paquete de retroceso . Si π F : F → N es un haz de fibras sobre N y f : M → N es un mapa continuo, entonces la retirada de F por f es un haz de fibras F * F sobre M cuya fibra sobre x está dada por ( f * F ) x = F f ( x ) . De esto se deduce que un mapa de haz de E a F que cubre f es la misma cosa que un mapa haz de E a F * F sobre M .
Variantes y generalizaciones
Hay dos tipos de variación de la noción general de mapa de paquetes.
Primero, se pueden considerar los haces de fibras en una categoría diferente de espacios. Esto conduce, por ejemplo, a la noción de un mapa de haz suave entre haces de fibras lisas sobre un colector liso .
En segundo lugar, se pueden considerar haces de fibras con estructura extra en sus fibras y restringir la atención a los mapas de haces que conservan esta estructura. Esto conduce, por ejemplo, a la noción de un homomorfismo de haz (vectorial) entre haces de vectores , en el que las fibras son espacios vectoriales, y se requiere que un mapa de haz φ sea un mapa lineal en cada fibra. En este caso, dicho mapa de paquetes φ (que cubre f ) también puede verse como una sección del paquete vectorial Hom ( E , f * F ) sobre M , cuya fibra sobre x es el espacio vectorial Hom ( E x , F f ( x ) ) (también denotado L ( E x , F f ( x ) )) de mapas lineales de E x a F f ( x ) .