En matemáticas , y en particular en la teoría de la singularidad, una A k , donde k ≥ 0 es un número entero , describe un nivel de degeneración de una función . La notación fue introducida por VI Arnold .
Sea f : R n → R una función suave . Denotamos por Ω ( R n , R ) el espacio de dimensión infinita de todas esas funciones. Deje diff ( R n ) denota el infinito-dimensional grupo de Lie de difeomorfismos R n → R n , y diff ( R ) del grupo de Lie de dimensión infinita de difeomorfismos R → R . El grupo de productos diff ( R n ) × diff ( R )actúa sobre Ω ( R n , R ) de la siguiente manera: sean φ: R n → R n y ψ: R → R difeomorfismos yf : R n → R cualquier función suave. Definimos la acción grupal de la siguiente manera:
La órbita de f , denotada orbe ( f ), de esta acción de grupo está dada por
Los miembros de una determinada órbita de esta acción tienen en común el siguiente hecho: podemos encontrar un cambio difeomórfico de coordenada en R n y un cambio difeomórfico de coordenada en R de tal manera que un miembro de la órbita se lleva a cualquier otro. Se dice que una función f tiene una singularidad de tipo A k si se encuentra en la órbita de
dónde y k ≥ 0 es un número entero.
Por forma normal nos referimos a un representante particularmente simple de cualquier órbita dada. Las expresiones anteriores para f dan formas normales para las singularidades de tipo A k . Las singularidades de tipo A k son especiales porque se encuentran entre las singularidades simples, esto significa que solo hay un número finito de otras órbitas en una vecindad suficientemente pequeña de la órbita de f .
Esta idea se extiende a los números complejos donde las formas normales son mucho más simples; por ejemplo: no es necesario distinguir ε i = +1 de ε i = −1.
Referencias
- Arnold, VI; Varchenko, AN; Gusein-Zade, SM (1985), La clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, Vol 1 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9