En matemáticas , diferencial del primer tipo es un término tradicional usado en las teorías de superficies de Riemann (más generalmente, variedades complejas ) y curvas algebraicas (más generalmente, variedades algebraicas ), para formas 1 diferenciales regulares en todas partes . Dada una variedad compleja M , una diferencial del primer tipo ω es, por lo tanto, lo mismo que una forma 1 que es holomórfica en todas partes ; en una variedad algebraica V que no es singular sería una sección global de la gavilla coherente Ω1 de los diferenciales de Kähler . En cualquier caso, la definición tiene su origen en la teoría de las integrales abelianas .
La dimensión del espacio de diferenciales de primer tipo, mediante esta identificación, es el número de Hodge
Los diferenciales del primer tipo, cuando se integran a lo largo de trayectorias, dan lugar a integrales que generalizan las integrales elípticas a todas las curvas sobre los números complejos . Incluyen, por ejemplo, las integrales hiperelípticas de tipo
donde Q es un polinomio libre de cuadrados de cualquier grado dado> 4. La potencia permitida k debe determinarse mediante el análisis del polo posible en el punto en el infinito de la curva hiperelíptica correspondiente . Cuando se hace esto, uno encuentra que la condición es
o en otras palabras, k como máximo 1 para el grado de Q 5 o 6, como máximo 2 para el grado 7 u 8, y así sucesivamente (como g = [(1+ grado Q ) / 2]).
En general, como ilustra este ejemplo, para una superficie de Riemann compacta o una curva algebraica , el número de Hodge es el género g . Para el caso de superficies algebraicas , esta es la cantidad conocida clásicamente como la irregularidad q . También es, en general, la dimensión de la variedad albanesa , que ocupa el lugar de la variedad jacobiana .