En matemáticas , un conjunto insignificante es un conjunto que es lo suficientemente pequeño como para que se pueda ignorar con algún propósito. Como ejemplos comunes, los conjuntos finitos se pueden ignorar cuando se estudia el límite de una secuencia , y los conjuntos nulos se pueden ignorar cuando se estudia la integral de una función medible .
Los conjuntos insignificantes definen varios conceptos útiles que se pueden aplicar en diversas situaciones, como la verdad en casi todas partes . Para que estos funcionen, generalmente solo es necesario que los conjuntos insignificantes formen un ideal ; es decir, que el conjunto vacío sea despreciable, la unión de dos conjuntos despreciables sea despreciable y cualquier subconjunto de un conjunto despreciable sea despreciable. Para algunos propósitos, también necesitamos que este ideal sea un ideal sigma , de modo que las uniones contables de conjuntos despreciables también sean despreciables. Si I y J son ambos ideales de subconjuntos del mismo conjunto X, entonces se puede hablar de subconjuntos I-insignificante y J-insignificante .
Lo contrario de un conjunto insignificante es una propiedad genérica , que tiene varias formas.
Ejemplos de
Sea X el conjunto N de números naturales , y sea un subconjunto de N insignificante si es finito . Entonces, los conjuntos insignificantes forman un ideal. Esta idea se puede aplicar a cualquier conjunto infinito ; pero si se aplica a un conjunto finito, cada subconjunto será insignificante, lo que no es una noción muy útil.
O sea X un conjunto incontable , y sea un subconjunto de X insignificante si es contable . Entonces, los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma.
Sea X un espacio medible equipado con una medida my sea un subconjunto de X insignificante si es m - nulo . Entonces, los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma. Cada sigma ideal en X puede recuperarse de esta manera colocando una medida adecuada en X , aunque la medida puede ser bastante patológica.
Sea X el conjunto R de números reales , y sea un subconjunto A de R despreciable si para cada ε> 0, [1] existe una colección finita o contable I 1 , I 2 ,… de intervalos (posiblemente superpuestos) que satisfacen :
y
Este es un caso especial del ejemplo anterior, usando la medida de Lebesgue , pero descrito en términos elementales.
Sea X un espacio topológico , y sea un subconjunto despreciable si es de primera categoría , es decir, si es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte (donde un conjunto no es denso en ninguna parte si no es denso en ninguna parte abierta). conjunto ). Entonces, los conjuntos insignificantes forman un ideal sigma. X es un espacio de Baire si el interior de cada conjunto insignificante está vacío.
Sea X un conjunto dirigido y sea un subconjunto de X insignificante si tiene un límite superior . Entonces, los conjuntos insignificantes forman un ideal. El primer ejemplo es un caso especial de esto usando la ordenación habitual de N .
En una estructura burda , los conjuntos controlados son insignificantes.
Conceptos derivados
Deje que X sea un conjunto , y dejar que sea un ideal de insignificantes subconjuntos de X . Si p es una proposición sobre los elementos de X , entonces p es verdadero en casi todas partes si el conjunto de puntos donde p es verdadero es el complemento de un conjunto despreciable. Es decir, es posible que p no siempre sea verdadero, pero es falso tan raramente que esto se puede ignorar para los propósitos en cuestión.
Si f y g son funciones de X al mismo espacio Y , entonces f y g son equivalentes si son iguales en casi todas partes. Para hacer que el párrafo de introducción precisa, a continuación, dejar que X sea N , y dejar que los juegos sean despreciables los conjuntos finitos. Entonces f y g son secuencias. Si Y es un espacio topológico , entonces f y g tienen el mismo límite, o ambos no tienen ninguno. (Cuando generaliza esto a conjuntos dirigidos, obtiene el mismo resultado, pero para redes ). O bien, deje que X sea un espacio de medida y que los conjuntos despreciables sean los conjuntos nulos. Si Y es la recta real R , entonces f y g tienen la misma integral, o no se define ninguna integral.