En el campo matemático de la teoría de modelos , la propiedad de amalgama es una propiedad de las colecciones de estructuras que garantiza, bajo ciertas condiciones, que dos estructuras de la colección puedan considerarse subestructuras de una más grande.
Esta propiedad juega un papel crucial en el teorema de Fraïssé , que caracteriza clases de estructuras finitas que surgen como edades de estructuras homogéneas contables.
El diagrama de la propiedad de fusión aparece en muchas áreas de la lógica matemática . Los ejemplos incluyen en la lógica modal como una relación de accesibilidad incestual, [ aclaración necesaria ] y en el cálculo lambda como una forma de reducción que tiene la propiedad Church-Rosser .
Definición
Una amalgama se puede definir formalmente como una tupla de 5 ( A, f, B, g, C ) tal que A, B, C son estructuras que tienen la misma firma , yf: A → B, g : A → C son incrustaciones . Recordemos que f: A → B es una incrustación si f es un morfismo inyectiva que induce un isomorfismo de A a la subestructura f (A) de B . [1]
Una clase K de estructuras tiene la propiedad de amalgama si para cada amalgama con A, B, C ∈ K y A ≠ Ø, existen tanto una estructura D ∈ K como incrustaciones f ': B → D, g': C → D tales que
Una teoría de primer orden tiene la propiedad de amalgama si la clase de modelos de tiene la propiedad de fusión. La propiedad de fusión tiene ciertas conexiones con la eliminación del cuantificador .
En general, la propiedad de fusión se puede considerar para una categoría con una elección específica de la clase de morfismos (en lugar de incrustaciones). Esta noción está relacionada con la noción categórica de un retroceso , en particular, en relación con la propiedad de fusión fuerte (ver más abajo). [2]
Ejemplos de
- La clase de conjuntos, donde las incrustaciones son funciones inyectivas, y si se supone que son inclusiones, entonces una amalgama es simplemente la unión de los dos conjuntos.
- La clase de grupos libres donde las incrustaciones son homomorfismos inyectivos y (asumiendo que son inclusiones) una amalgama es el grupo cociente. , donde * es el producto gratuito .
- La clase de ordenamientos lineales finitos .
Una noción similar pero diferente a la propiedad de fusión es la propiedad de inserción conjunta . Para ver la diferencia, primero considere la clase K (o simplemente el conjunto) que contiene tres modelos con órdenes lineales, L 1 de tamaño uno, L 2 de tamaño dos y L 3 de tamaño tres. Esta clase K tiene la propiedad de incrustación conjunta porque los tres modelos se pueden incrustar en L 3 . Sin embargo, K no tiene la propiedad de fusión. El contraejemplo para esto comienza con L 1 que contiene un solo elemento e y se extiende de dos formas diferentes a L 3 , una en la que e es la más pequeña y la otra en la que e es la más grande. Ahora, cualquier modelo común con una incrustación de estas dos extensiones debe tener al menos el tamaño cinco para que haya dos elementos a cada lado de e .
Ahora considere la clase de campos cerrados algebraicamente . Esta clase tiene la propiedad de fusión, ya que dos extensiones de campo de un campo principal se pueden incrustar en un campo común. Sin embargo, dos campos arbitrarios no se pueden incrustar en un campo común cuando las características de los campos difieren.
Fuerte propiedad de fusión
Una clase K de estructuras tiene la propiedad de fusión fuerte (SAP), también llamada propiedad de fusión disjunta (DAP), si para cada amalgama con A, B, C ∈ K existen tanto una estructura D ∈ K como incrustaciones f ': B → D, g ': C → D tal que
- y
- donde para cualquier conjunto X y función h en X,
Ver también
Referencias
Referencias
- Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-58713-1.
- Entradas sobre propiedad de fusión y propiedad de fusión fuerte en la base de datos en línea de clases de estructuras algebraicas (Departamento de Matemáticas e Informática, Universidad Chapman).
- EW Kiss, L. Márki, P. Pröhle, W. Tholen, Propiedades algebraicas categóricas. Un compendio sobre amalgama, extensión de congruencia, epimorfismos, pequeñez residual e inyectividad , Studia Sci. Matemáticas. Hungar 18 (1), 79-141, edición completa de la revista 1983 .