En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un pushout (también llamado coproducto fibrado o suma fibrada o cuadrado cocartesiano o suma amalgamada ) es el límite de un diagrama que consta de dos morfismos f : Z → X y g : Z → Y con un dominio común . El empuje consiste en un objeto P junto con dos morfismos X → P yY → P que completan un cuadrado conmutativo con los dos morfismos dados f y g . De hecho, la propiedad universal definitoria de la expulsión (dada a continuación) dice esencialmente que la expulsión es la forma "más general" de completar este cuadrado conmutativo. Las notaciones comunes para el pushout son y .
La expulsión es el dual categórico del retroceso .
Propiedad universal
Explícitamente, la expulsión de los morfismos f y g consta de un objeto P y dos morfismos i 1 : X → P e i 2 : Y → P de tal modo que el diagrama
conmuta y tal que ( P , i 1 , i 2 ) es universal con respecto a este diagrama. Es decir, para cualquier otro conjunto de este tipo ( Q , j 1 , j 2 ) para el cual el siguiente diagrama conmuta, debe existir una u única : P → Q que también hace que el diagrama conmuta:
Al igual que con todas las construcciones universales, la expulsión, si existe, es única hasta un isomorfismo único .
Ejemplos de pushouts
A continuación, se muestran algunos ejemplos de expulsiones en categorías familiares . Tenga en cuenta que en cada caso, solo proporcionamos una construcción de un objeto en la clase de isomorfismo de pushouts; como se mencionó anteriormente, aunque puede haber otras formas de construirlo, todas son equivalentes.
- Suponga que X , Y y Z como arriba son conjuntos , y que f : Z → X y g : Z → Y son funciones de conjuntos. La expulsión de f y g es la unión disjunta de X e Y , donde se identifican los elementos que comparten una preimagen común (en Z ), junto con los morfismos i 1 , i 2 de X e Y , es decirdonde ~ es la mejor relación de equivalencia (cf. también esta ) tal que f ( z ) ~ g ( z ) para todo z en Z . En particular, si X y Y son subconjuntos de un conjunto más grande W y Z es su intersección , con f y g la inclusión mapas de Z en X y Y , entonces el pushout puede canónicamente identifica con la unión .
- La construcción de espacios adjuntos es un ejemplo de empujones en la categoría de espacios topológicos . Más precisamente, si Z es un subespacio de Y y g : Z → Y es la inclusión mapa podemos "pegamento" Y a otro espacio X a lo largo de Z usando un "mapa de unir" f : Z → X . El resultado es el espacio adjunto, que es solo la expulsión de f y g . De manera más general, todos los espacios de identificación se pueden considerar como empujones de esta manera.
- Un caso especial de lo anterior es la suma de cuña o unión de un punto; aquí tomamos X e Y como espacios puntiagudos y Z como espacio de un punto. Entonces el empuje es, El espacio obtiene pegando el punto base de X para el punto base de Y .
- En la categoría de grupos abelianos , los pushouts pueden considerarse como " suma directa con encolado" de la misma manera que pensamos en los espacios adjuntos como " unión disjunta con encolado". El grupo cero es un subgrupo de cada grupo , por lo que para cualquier grupo abeliano A y B , tenemos homomorfismos y . El vaciar las instalaciones de estos mapas es la suma directa de A y B . Generalizando al caso en el que f y g son homomorfismos arbitrarios de un dominio común Z , se obtiene para la expulsión un grupo cociente de la suma directa; a saber, que MOD a cabo por el subgrupo que consiste de pares ( f ( z ), - g ( z )). Así, hemos "pegada" a lo largo de las imágenes de Z bajo f y g . Un enfoque similar se obtiene el pushout en la categoría de R -modules para cualquier anillo R .
- En la categoría de grupos , la expulsión se denomina producto gratuito con fusión . Aparece en el teorema de topología algebraica de Seifert-van Kampen (ver más abajo).
- En CRing , la categoría de anillos conmutativos (una subcategoría completa de la categoría de anillos ), el empuje viene dado por el producto tensorial de anillos con los morfismos y que satisfacen . De hecho, dado que el empuje es el colimit de un tramo y el retroceso es el límite de un cospan , podemos pensar en el producto tensorial de los anillos y el producto fibroso de los anillos (ver la sección de ejemplos) como nociones duales entre sí. En particular, permiten A , B , y C sean objetos (anillos conmutativos con identidad) en Cring y permiten f : C → A y g : C → B sea morfismos ( homomorfismos de anillo ) en Cring . Entonces el producto tensorial es:
- Consulte Producto libre de álgebras asociativas para el caso de anillos no conmutativos.
- En el monoide multiplicativo de enteros positivos , Considerada como una categoría con un objeto, el pushout de dos números enteros positivos m y n es sólo el par, Donde los numeradores son tanto el mínimo común múltiplo de m y n . Tenga en cuenta que el mismo par también es el retroceso.
Propiedades
- Siempre que el pushout A ⊔ C B existe, entonces B ⊔ C A existe como bien y no es un isomorfismo natural de A ∪ C B ≅ B ∪ C A .
- En una categoría abeliana existen todas expulsado ya, y conservan conúcleos en el siguiente sentido: si ( P , i 1 , i 2 ) es el pushout de f : Z → X y g : Z → Y , a continuación, el mapa naturales coker ( f ) → coker ( i 2 ) es un isomorfismo, y también lo es el mapa natural coker ( g ) → coker ( i 1 ).
- Hay un isomorfismo naturales ( A ⊔ C B ) ⊔ B D ≅ A ⊔ C D . Explícitamente, esto significa:
- Si los mapas f : C → A , g : C → B y h : B → D se dan y
- la expulsión de f y g está dada por i : A → P y j : B → P , y
- la expulsión de j y h viene dada por k : P → Q y l : D → Q ,
- entonces el pushout de f y hg está dada por ki : A → Q y L : D → Q .
- Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de expulsión, colocados uno al lado del otro y compartiendo un morfismo, forman un cuadrado de expulsión más grande cuando se ignora el morfismo compartido interno.
Construcción vía coproductos y coequalizadores
Los pushouts son equivalentes a coproductos y coequalizadores (si hay un objeto inicial ) en el sentido de que:
- Los coproductos son una expulsión del objeto inicial, y el coequalizador de f , g : X → Y es la expulsión de [ f , g ] y [1 X , 1 X ], por lo que si hay expulsiones (y un objeto inicial), luego están los coequalizadores y los coproductos;
- Los pushouts se pueden construir a partir de coproductos y coequalizadores, como se describe a continuación (el pushout es el coecualizador de los mapas al coproducto).
Todos los ejemplos anteriores pueden considerarse como casos especiales de la siguiente construcción muy general, que funciona en cualquier categoría C satisfaciendo:
- Para cualquier objeto A y B de C , su coproducto existe en C ;
- Para cualquier morfismos j y k de C con el mismo dominio y de destino, el coequalizer de j y k existe en C .
En esta configuración, se obtiene la pushout de morfismos f : Z → X y g : Z → Y formando en primer lugar el coproducto de los objetivos de X y de Y . Luego tenemos dos morfismos de Z a este coproducto. Podemos ir de Z a X a través de f , luego incluir en el coproducto, o podemos ir de Z a Y a través de g , luego incluir. La expulsión de f y g es el coequalizador de estos nuevos mapas.
Aplicación: el teorema de Seifert-van Kampen
El teorema de Seifert-van Kampen responde a la siguiente pregunta. Supongamos que tenemos un espacio X conectado con una trayectoria , cubierto por subespacios abiertos A y B conectados con una trayectoria , cuya intersección D también está conectada con una trayectoria. (Suponga también que el punto base * se encuentra en la intersección de A y B. ) Si conocemos los grupos fundamentales de A , B y su intersección D , ¿podemos recuperar el grupo fundamental de X ? La respuesta es sí, siempre que conozcamos también los homomorfismos inducidos y El teorema dice entonces que el grupo fundamental de X es la expulsión de estos dos mapas inducidos. Por supuesto, X es la pushout de los dos mapas de inclusión de D en A y B . Por lo tanto, podemos interpretar el teorema como una confirmación de que el funtor de grupo fundamental conserva las expulsiones de inclusiones. Podríamos esperar que esto sea más simple cuando D simplemente está conectado , ya que ambos homomorfismos anteriores tienen un dominio trivial. De hecho, este es el caso, ya que entonces la expulsión (de grupos) se reduce al producto libre , que es el coproducto en la categoría de grupos. En un caso más general, hablaremos de un producto gratuito con amalgama .
Hay una exposición detallada de esto, en un marco un poco más general (que cubre los grupos ) en el libro de JP May que se enumera en las referencias.
Referencias
- May, JP Un curso conciso de topología algebraica. Prensa de la Universidad de Chicago, 1999.
- Una introducción a los enfoques categóricos de la topología algebraica: el enfoque está en el álgebra y asume un trasfondo topológico.
- Ronald Brown "Topología y Groupoids" pdf disponible Da cuenta de algunos métodos categóricos en topología, use el groupoid fundamental en un conjunto de puntos base para dar una generalización del Teorema de Seifert-van Kampen.
- Philip J. Higgins, Descarga gratuita de "Categorías y grupos" Explica algunos usos de los grupos en la teoría y topología de grupos.
enlaces externos
- pushout en nLab