En la teoría de la comunicación cuántica , un canal de amortiguación de amplitud es un canal cuántico que modela procesos físicos como la emisión espontánea . Un proceso natural por el cual este canal puede ocurrir es una cadena de espín a través de la cual se pueden usar varios estados de espín, acoplados por un hamiltoniano independiente del tiempo , para enviar un estado cuántico de un lugar a otro. El canal cuántico resultante termina siendo idéntico a un canal de amortiguación de amplitud, para lo cual la capacidad cuántica , la capacidad clásica y el entrelazamiento ayudaron a la capacidad clásica del canal cuántico. puede ser evaluado.
Canal Qubit
El canal de amortiguación de amplitud modela la relajación de energía desde un estado excitado al estado fundamental. En un sistema bidimensional, o qubit , con probabilidad de desintegración, la acción del canal en una matriz de densidad es dado por
dónde son los operadores de Kraus dados por
Por lo tanto
Modelo para un canal cuántico de cadena de espín
El constructo principal del canal cuántico basado en las correlaciones de la cadena de espines es tener una colección de N espines acoplados. A cada lado del canal cuántico , hay dos grupos de espines y nos referimos a estos como registros cuánticos, A y B. Se envía un mensaje haciendo que el remitente del mensaje codifique cierta información en el registro A, y luego, después de dejar se propaga durante un tiempo t, y el receptor lo recupera más tarde de B. El estadose prepara en A desacoplando primero los espines de A de los del resto de la cadena. Después de la preparación, se le permite interactuar con el estado en el resto de la cadena, que inicialmente tiene el estado . El estado de la cadena de espín a medida que avanza el tiempo se puede describir mediante. A partir de esta relación, podemos obtener el estado de los espines que pertenecen al registro B rastreando todos los demás estados de la cadena.
Esto da el mapeo a continuación, que describe cómo el estado en A se transforma en función del tiempo a medida que se transmite a través del canal cuántico a B. U (t) es solo una matriz unitaria que describe la evolución del sistema como una función de tiempo.
Sin embargo, existen algunos problemas con esta descripción del canal cuántico . Uno de los supuestos relacionados con el uso de un canal de este tipo es que esperamos que los estados de la cadena no se alteren. Si bien es posible que un estado se codifique en A sin perturbar la cadena, una lectura del estado de B influirá en los estados del resto de la cadena de espín. Por tanto, cualquier manipulación repetida de los registros A y B tendrá un impacto desconocido en el canal cuántico . Dado este hecho, resolver las capacidades de este mapeo no sería de utilidad en general, ya que solo se aplicará cuando varias copias de la cadena estén operando en paralelo. Para calcular valores significativos para estas capacidades, el modelo simple a continuación permite que las capacidades se resuelvan exactamente.
Modelo solucionable
Se utiliza una cadena de espín, que se compone de una cadena de partículas con espín 1/2 acoplado a través de una interacción ferromagnética de Heisenberg , y es descrita por el hamiltoniano :
Se supone que el registro de entrada, A y el registro de salida B ocupan los primeros k y los últimos k giros a lo largo de la cadena, y que todos los giros a lo largo de la cadena están preparados para estar en el estado de giro hacia abajo en la dirección z. Luego, las partes usan todos los k de sus estados de giro para codificar / decodificar un solo qubit . La motivación de este método es que si se permitieran utilizar todos los k giros, tendríamos un canal de k-qubit , que sería demasiado complejo para analizarlo por completo. Claramente, un canal más efectivo haría uso de todos los k giros, pero al usar este método ineficiente, es posible mirar los mapas resultantes analíticamente.
Para llevar a cabo la codificación de un solo bit utilizando los k bits disponibles , se define un vector de un giro hacia arriba, en el que todos los giros están en el estado de giro hacia abajo excepto el j-ésimo, que está en el estado de giro hacia arriba.
El remitente prepara su conjunto de k giros de entrada como:
dónde es el estado en el que todas las posiciones se han reducido, y es la superposición de todos los posibles estados de un giro. Con esta entrada, es posible encontrar un estado que describa toda la cadena en un tiempo t dado. A partir de tal estado, el seguimiento de los giros Nk que no pertenecen al receptor, como habríamos hecho con el modelo anterior, deja el estado en B:
dónde es una constante que define la eficiencia del canal . Si representamos los estados en los que un giro puede ser y aquellos donde todos los giros están destinados a ser , esto se vuelve reconocible como resultado de aplicar el canal de amortiguación de amplitud , caracterizado por los siguientes operadores Kraus :
;
Evidentemente, el hecho de que un canal de amortiguación de amplitud describa la transmisión de estados cuánticos a través de la cadena de espín se debe al hecho de que el hamiltoniano del sistema conserva energía . Si bien la energía se puede distribuir a medida que el estado de un giro hacia arriba se transfiere a lo largo de la cadena, no es posible que los giros en el estado hacia abajo ganen energía de repente y se conviertan en estados de giro hacia arriba.
Capacidades del canal de amortiguación de amplitud
Al describir la cadena de espín como un canal de amortiguación de amplitud, es posible calcular las diversas capacidades asociadas con el canal. Una propiedad útil de este canal, que se utiliza para encontrar estas capacidades, es el hecho de que dos canales de amortiguación de amplitud con eficiencias y se puede concatenar. Tal concatenación da un nuevo canal de eficiencia..
Capacidad cuántica
Para calcular la capacidad cuántica , el mapa se representa de la siguiente manera:
Esta representación del mapa se obtiene agregando un espacio de Hilbert auxiliar A la de . e introduciendo un operador V que opera en A y C. Un canal complementario,También se define, donde en lugar de trazar sobre C, trazamos sobre A. Se define una operación de intercambio S que transforma A en C. Usando esta operación, así como la regla para la concatenación de canales de amortiguación de amplitud, se muestra que para:
Esta relación demuestra que el canal es degradable, lo que garantiza que la información coherente del canal sea aditiva. Esto implica que la capacidad cuántica se logra para el uso de un solo canal.
Se aplica un mapeo de amortiguación de amplitud a un estado de entrada general y, a partir de este mapeo, la entropía de von Neumann de la salida se encuentra como:
dónde con el estado y es un término de coherencia. Al observar una purificación del estado, se encuentra que:
Para maximizar la capacidad cuántica , elegimos que(debido a la concavidad de la entropía , que produce lo siguiente como capacidad cuántica :
Encontrar la capacidad cuántica paraes sencillo, ya que la capacidad cuántica desaparece como resultado directo del teorema de no clonación . El hecho de que los canales se puedan componer de esta manera implica que la capacidad cuántica del canal debe aumentar en función de.
Capacidad clásica asistida por enredos
Para calcular la capacidad asistida por entrelazamiento debemos maximizar la información mutua cuántica . Esto se encuentra agregando la entropía de entrada del mensaje a la información coherente derivada en la sección anterior. De nuevo se maximiza para. Por lo tanto, se encuentra que la capacidad clásica asistida por entrelazamiento es
Capacidad clásica
Ahora calculamos C1, que es la cantidad máxima de información clásica que se puede transmitir mediante codificaciones no entrelazadas sobre usos de canales paralelos. Esta cantidad actúa como un límite inferior para la capacidad clásica , C. Para encontrar C1, la capacidad clásica se maximiza para n = 1. Consideramos un conjunto de mensajes, cada uno con probabilidad. Se encuentra que la información de Holevo es:
En esta expresión, y son la población y un término de coherencia, como se definió anteriormente, y y son los valores medios de estos.
Para encontrar C1, primero se encuentra un límite superior para C1, y luego un conjunto de se encuentran que satisfacen este límite. Como antes,se establece en 0 para maximizar el primer término de la información de Holevo . A partir de aquí usamos el hecho de que la entropía binaria está disminuyendo con respecto a así como el hecho de que es convexa con respecto a z para encontrar la siguiente desigualdad:
Maximizando todas las opciones de p, se encuentra el siguiente límite superior para C1:
Se encuentra que este límite superior es el valor de C1, y los parámetros que realizan este límite son ,, y .
Análisis numérico de las capacidades
A partir de las expresiones para las distintas capacidades, es posible realizar un análisis numérico sobre las mismas. Por unde 1, las tres capacidades se maximizan, lo que lleva a que las capacidades cuántica y clásica sean ambas 1, y la capacidad clásica asistida por entrelazamiento sea 2. Como se mencionó anteriormente, la capacidad cuántica es 0 para cualquiermenos de 0,5, mientras que la capacidad clásica y la capacidad clásica asistida por entrelazamiento llegan a 0 para de 0. Cuando es inferior a 0,5, se pierde demasiada información en el entorno para que la información cuántica se envíe a la parte receptora.
Efectividad de las cadenas giratorias como canal de comunicación cuántica
Habiendo calculado las capacidades para el canal de amortiguación de amplitud en función de la eficiencia del canal, es posible analizar la efectividad de dicho canal en función de la distancia entre el sitio de codificación y el sitio de decodificación. Bose demostró que la eficiencia cae en función de, donde r es la posición de la decodificación y s es la posición de la codificación. Debido al hecho de que la capacidad cuántica desaparece durantemenos de 0,5, esto significa que la distancia entre el emisor y el receptor debe ser muy corta para que se transmita cualquier información cuántica . Por lo tanto, las cadenas de espín largas no son adecuadas para transmitir información cuántica .
Estudio futuro
Las posibilidades de futuros estudios en este campo incluirían métodos mediante los cuales las interacciones de cadena de espín podrían utilizarse como un canal más eficaz. Esto incluiría la optimización de los valores deobservando más de cerca la interacción entre los giros y eligiendo interacciones que tengan un efecto positivo en la eficiencia. Tal optimización podría permitir una transmisión más efectiva de datos cuánticos a distancia. Una alternativa a esto sería dividir la cadena en segmentos más pequeños y usar una gran cantidad de cadenas de espín para transmitir datos cuánticos. Esto sería efectivo ya que las cadenas de espín son buenas para transmitir datos cuánticos a distancias cortas. Además de esto, sería posible aumentar la capacidad cuántica permitiendo la comunicación clásica bidireccional libre entre el emisor y el receptor y haciendo uso de efectos cuánticos como la teletransportación cuántica . Otras áreas de estudio incluirían un análisis para una codificación que hace uso de los k spins completos de los registros, ya que esto permitiría comunicar más información a la vez.
enlaces externos
- Giovannetti, V .; Fazio, R. (2005). "Descripción de la capacidad de información de las correlaciones de cadena de espín". Physical Review A . 71 (3): 032314. arXiv : quant-ph / 0405110 . Código Bibliográfico : 2005PhRvA..71c2314G . doi : 10.1103 / PhysRevA.71.032314 .
- Bose, S. (2003). "Comunicación cuántica a través de una cadena de espín no modulada ". Cartas de revisión física . 91 (20): 207901. arXiv : quant-ph / 0212041 . Código Bibliográfico : 2003PhRvL..91t7901B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.91.207901 .
- Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Computación cuántica e información cuántica"
- Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001