En la teoría de la información cuántica , la información mutua cuántica , o información mutua de von Neumann , después de John von Neumann , es una medida de correlación entre subsistemas de estado cuántico. Es el análogo de la mecánica cuántica de la información mutua de Shannon .
Motivación
Por simplicidad, se supondrá que todos los objetos del artículo son de dimensión finita.
La definición de entropía mutua cuántica está motivada por el caso clásico. Para una distribución de probabilidad de dos variables p ( x , y ), las dos distribuciones marginales son
La información mutua clásica I ( X : Y ) está definida por
donde S ( q ) denota la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad q .
Se puede calcular directamente
Entonces la información mutua es
Pero esta es precisamente la entropía relativa entre p ( x , y ) y p ( x ) p ( y ). En otras palabras, si asumimos las dos variables x e y sean correlacionadas, información mutua es la discrepancia en la incertidumbre resultante de esta suposición (posiblemente errónea).
De la propiedad de la entropía relativa se deduce que I ( X : Y ) ≥ 0 y la igualdad se cumple si y solo si p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ).
Definición
La contraparte mecánica cuántica de las distribuciones de probabilidad clásicas se modela con matrices de densidad .
Considere un sistema cuántico que se puede dividir en dos partes, A y B, de manera que se pueden realizar mediciones independientes en cualquiera de las partes. El espacio de estado de todo el sistema cuántico es entonces el producto tensorial de los espacios de las dos partes .
Sea ρ AB una matriz de densidad que actúa sobre los estados de H AB . La entropía de von Neumann de una matriz de densidad S ( ρ ), es la analogía mecánica cuántica de la entropía de Shannon.
Para una distribución de probabilidad p ( x , y ), las distribuciones marginales se obtienen mediante la integración de las variables de distancia x o Y . La operación correspondiente para matrices de densidad es la traza parcial . Entonces uno puede asignar a ρ un estado en el subsistema A por
donde Tr B es traza parcial con respecto al sistema B . Este es el estado reducido de ρ AB en el sistema A . La entropía reducida de von Neumann de ρ AB con respecto al sistema A es
S ( ρ B ) se define de la misma manera.
Ahora se puede ver que la definición de información mutua cuántica, correspondiente a la definición clásica, debería ser la siguiente.
La información mutua cuántica se puede interpretar de la misma manera que en el caso clásico: se puede demostrar que
dónde denota entropía relativa cuántica .