campo de conjuntos

En matemáticas , un campo de conjuntos es una estructura matemática que consiste en un par que consta de un conjunto y una familia de subconjuntos de llamado álgebra que contiene el conjunto vacío como elemento, y se cierra bajo las operaciones de tomar complementos en uniones finitas . , e intersecciones finitas . $(X,{\mathcal {F}})$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\mathcal {F}}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X,}$

Los campos de conjuntos no deben confundirse con los campos de la teoría de anillos ni con los campos de la física . De manera similar, el término "álgebra sobre " se usa en el sentido de un álgebra booleana y no debe confundirse con álgebras sobre campos o anillos en la teoría de anillos. ${\ estilo de visualización X}$

Los campos de conjuntos juegan un papel esencial en la teoría de la representación de las álgebras booleanas. Cada álgebra booleana se puede representar como un campo de conjuntos.

Un campo de conjuntos es un par formado por un conjunto y una familia de subconjuntos llamado álgebra sobre que tiene las siguientes propiedades: $(X,{\mathcal {F}})$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\mathcal {F}}$ ${\ estilo de visualización X,}$ ${\ estilo de visualización X,}$

En otras palabras, forma una subálgebra del conjunto de potencias del álgebra booleana de (con el mismo elemento de identidad ). Muchos autores se refieren a sí mismo como un campo de conjuntos. Los elementos de se llaman puntos , mientras que los elementos de se llaman complejos y se dice que son los conjuntos admisibles de ${\mathcal {F}}$ ${\ estilo de visualización X}$ $X\in {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\ estilo de visualización X}$ ${\mathcal {F}}$ ${\ estilo de visualización X.}$

Un campo de conjuntos se denomina σ−campo de conjuntos y el álgebra se denomina σ-álgebra si se cumple la siguiente condición adicional (4): $(X,{\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$