Un espacio analítico es una generalización de una variedad analítica que permite singularidades . Un espacio analítico es un espacio que localmente es lo mismo que una variedad analítica . Son prominentes en el estudio de varias variables complejas , pero también aparecen en otros contextos.
Definición
Fije un campo k con una valoración. Suponga que el campo es completo y no discreto con respecto a esta valoración. Por ejemplo, se incluyen R y C con respecto a sus valores absolutos habituales, así como los campos de la serie Puiseux con respecto a sus valoraciones naturales.
Vamos T sea un subconjunto abierto de K n , y sea f 1 , ..., f k ser una colección de funciones analíticas en U . Denote por Z el lugar geométrico de fuga común de f 1 , ..., f k , es decir, sea Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0}. Z es una variedad analítica.
Suponga que la estructura de la gavilla de U es. Entonces Z tiene una estructura de gavilla, dónde es el ideal generado por f 1 , ..., f k . En otras palabras, la gavilla estructura de Z consta de todas las funciones de U modulo las posibles formas en que pueden diferir fuera de Z .
Un espacio analítico es un espacio anillado localmentetal que alrededor de cada punto x de X , existe un vecindario abierto U tal quees isomorfo (como espacios anillados localmente) a una variedad analítica con su estructura de haz. Este isomorfismo se denomina modelo local para X en x .
Un mapeo analítico o morfismo de espacios analíticos es un morfismo de espacios anillados localmente.
Esta definición es similar a la definición de esquema . La única diferencia es que para un esquema, los modelos locales son espectros de anillos , mientras que para un espacio analítico, los modelos locales son variedades analíticas. Por ello, las teorías básicas de los espacios analíticos y de los esquemas son muy similares. Además, las variedades analíticas tienen un comportamiento mucho más simple que los anillos conmutativos arbitrarios (por ejemplo, las variedades analíticas se definen sobre campos y son siempre de dimensión finita), por lo que los espacios analíticos se comportan de manera muy similar a los esquemas de tipo finito sobre un campo.
Resultados basicos
Cada punto de un espacio analítico tiene una dimensión local. La dimensión en x se encuentra eligiendo un modelo local en x y determinando la dimensión local de la variedad analítica en el punto correspondiente ax .
Cada punto de un espacio analítico tiene un espacio tangente . Si x es un punto de X y m x es el haz ideal de todas las funciones que desaparecen en x , entonces el espacio cotangente en x es m x / m x 2 . El espacio tangente es ( m x / m x 2 ) * , el espacio vectorial dual al espacio cotangente. Las asignaciones analíticas inducen mapas de avance en espacios tangentes y mapas de retroceso en espacios cotangentes.
La dimensión del espacio tangente en x se llama dimensión de incrustación en x . Al observar un modelo local, es fácil ver que la dimensión es siempre menor o igual que la dimensión de incrustación.
Suavidad
Un espacio analítico se llama suave en x si tiene un modelo local en x que es un subconjunto abierto de k n para algún n . El espacio analítico se llama liso si es liso en todos los puntos, y en este caso es una variedad analítica . El subconjunto de puntos en los que un espacio analítico no es uniforme es un subconjunto analítico cerrado.
Un espacio analítico se reduce si cada modelo local para el espacio está definido por un haz radical de ideales. Un espacio analítico X que no está reducido tiene una reducción X roja , un espacio analítico reducido con el mismo espacio topológico subyacente. Hay un morfismo canónico r : X rojo → X . Todo morfismo de X a un espacio analítico reducido se factoriza a través de r .
Un espacio analítico es normal si cada tallo de la estructura es un anillo normal (es decir, un dominio integral integralmente cerrado). En un espacio analítico normal, el locus singular tiene codimensión al menos dos. Cuando X es una intersección local completa en x , entonces X es normal en x .
Los espacios analíticos no normales se pueden suavizar en espacios normales de una manera canónica. Esta construcción se llama normalización . La normalización N ( X ) de un espacio analítico X viene con un mapa canónica ν: N ( X ) → X . Todo morfismo dominante desde un espacio analítico normal a factores X a través de ν.
Poleas coherentes
Un espacio analítico es coherente si su estructuraes una gavilla coherente . Un haz coherente de-módulos se denomina haz analítico coherente . Por ejemplo, en un espacio coherente, las gavillas libres localmente y las gavillas de ideales son gavillas analíticas coherentes.
Los espacios analíticos sobre campos algebraicamente cerrados son coherentes. En el caso complejo, esto se conoce como el teorema de coherencia de Oka . Esto no es cierto en los campos no cerrados algebraicamente; hay ejemplos de espacios analíticos reales que no son coherentes.
Generalizaciones
En algunas situaciones, el concepto de espacio analítico es demasiado restrictivo. A menudo, esto se debe a que el campo de tierra tiene una estructura adicional que no es capturada por conjuntos analíticos. En estas situaciones, hay generalizaciones de espacios analíticos que permiten una mayor flexibilidad en los espacios del modelo local.
Por ejemplo, sobre los números reales, considere el círculo x 2 + y 2 = 1 . El círculo es un subconjunto analítico del espacio analítico R 2 . Pero su proyección sobre el eje x es el intervalo cerrado [-1, 1] , que no es un conjunto analítico. Por tanto, la imagen de un conjunto analítico bajo un mapa analítico no es necesariamente un conjunto analítico. Esto se puede evitar trabajando con conjuntos subanalíticos , que son mucho menos rígidos que los conjuntos analíticos, pero que no están definidos en campos arbitrarios. La correspondiente generalización de un espacio analítico es un espacio subanalítico. (Sin embargo, bajo hipótesis de topología de conjuntos de puntos suaves , resulta que los espacios subanalíticos son esencialmente equivalentes a conjuntos subanalíticos).
Ver también
Referencias
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio analítico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press