La teoría de funciones de varias variables complejas es la rama de las matemáticas que se ocupa de funciones con valores complejos . La funciónes n -tuplas de números complejos, clásicamente considerados en el espacio de coordenadas complejo .
Como en el análisis complejo de funciones de una variable , que es el caso n = 1 , las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables z i . De manera equivalente, son límites de polinomios localmente uniformes ; o soluciones locales a las ecuaciones n- dimensionales de Cauchy-Riemann . Para una variable compleja, cada dominio [nota 1] (), [ aclaración necesaria ] es el dominio de holomorfia de alguna función, en otras palabras, cada dominio tiene una función para la cual es el dominio de holomorfia. Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios) que no son el dominio de la holomorfia de ninguna función, por lo que no siempre es el dominio de la holomorfia, por lo que el dominio de la holomorfia es uno de los temas en este campo. Parchear los datos locales de las funciones meromórficas , es decir, el problema de crear una función meromórfica global a partir de ceros y polos, se denomina problema de Cousin. Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son fundamentalmente importantes para el estudio de variedades complejas compactas y variedades complejas proyectivas () y tiene un sabor diferente a la geometría analítica compleja en o en colectores Stein .
Perspectiva historica
Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX: funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas . Naturalmente, también es candidata cualquier función de una variable que dependa de algún parámetro complejo . La teoría, sin embargo, durante muchos años no se convirtió en un área de pleno derecho en el análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no fueron descubiertos. El teorema de preparación de Weierstrass ahora se clasificaría como álgebra conmutativa ; justificó la imagen local, la ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación de la teoría de la superficie de Riemann .
Con el trabajo de Friedrich Hartogs y de Kiyoshi Oka en la década de 1930, comenzó a surgir una teoría general; otros que trabajaban en el área en ese momento eran Heinrich Behnke , Peter Thullen y Karl Stein . Hartogs demostró algunos resultados básicos, como que cada singularidad aislada es removible , para cualquier función analítica.
siempre que n > 1 . Naturalmente, los análogos de las integrales de contorno serán más difíciles de manejar: cuando n = 2, una integral que rodea un punto debe estar sobre una variedad tridimensional (ya que estamos en cuatro dimensiones reales), mientras que iteramos integrales de contorno (línea) sobre dos complejos separados las variables deben llegar a una integral doble sobre una superficie bidimensional. Esto significa que el cálculo de residuos tendrá que adoptar un carácter muy diferente.
Después de 1945 un importante trabajo en Francia, en el seminario de Henri Cartan , y en Alemania con Hans Grauert y Reinhold Remmert , cambió rápidamente el panorama de la teoría. Se aclararon varias cuestiones, en particular la de la continuación analítica . Aquí una diferencia importante es evidente a partir de la teoría de una variable: mientras que para cualquier conjunto abierto conectado D enpodemos encontrar una función que en ninguna parte continuará analíticamente sobre el límite, eso no se puede decir para n > 1 . De hecho, los D de ese tipo son de naturaleza bastante especial (satisfacen una condición llamada pseudoconvexidad ). Los dominios naturales de definición de funciones, continuadas hasta el límite, se denominan variedades de Stein y su naturaleza era hacer desaparecer los grupos de cohomología de gavilla , además, la propiedad de que el grupo de cohomología de gavilla desaparece también se encuentra en otras variedades complejas de alta dimensión, lo que indica que la variedad de Hodge es proyectiva. De hecho, fue la necesidad de poner (en particular) el trabajo de Oka sobre una base más clara lo que condujo rápidamente al uso consistente de gavillas para la formulación de la teoría (con importantes repercusiones para la geometría algebraica , en particular del trabajo de Grauert).
A partir de este punto, hubo una teoría fundacional, que podría aplicarse a la geometría analítica , [nota 2] formas automórficas de varias variables y ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la deformación de estructuras complejas y variedades complejas fue descrita en términos generales por Kunihiko Kodaira y DC Spencer . El célebre artículo GAGA de Serre [ref 1] precisó el punto de cruce de géometrie analytique a géometrie algébrique .
Se escuchó a CL Siegel quejarse de que la nueva teoría de funciones de varias variables complejas tenía pocas funciones , lo que significa que el lado de la función especial de la teoría estaba subordinado a las gavillas. El interés de la teoría de números , sin duda, radica en generalizaciones específicas de formas modulares . Los candidatos clásicos son las formas modulares de Hilbert y las formas modulares de Siegel . Estos días están asociados a grupos algebraicos (respectivamente la restricción de Weil de un campo numérico totalmente real de GL (2) , y el grupo simpléctico ), por lo que sucede que las representaciones automórficas pueden derivarse de funciones analíticas. En cierto sentido, esto no contradice a Siegel; la teoría moderna tiene sus propias direcciones diferentes.
Los desarrollos posteriores incluyeron la teoría de la hiperfunción y el teorema del borde de la cuña , ambos inspirados en cierta medida en la teoría cuántica de campos . Hay otros campos, como la teoría del álgebra de Banach , que se basan en varias variables complejas.
El complejo espacio de coordenadas
El complejo espacio de coordenadas es el producto cartesiano de n copias de, y cuando es un dominio de la holomorfia, puede considerarse como un colector Stein . También es un espacio vectorial n- dimensional sobre los números complejos , lo que da su dimensión 2 n sobre. [nota 3] Por tanto, como conjunto y como espacio topológico ,puede identificarse en el espacio de coordenadas real y su dimensión topológica es así 2 n .
En lenguaje sin coordenadas, cualquier espacio vectorial sobre números complejos puede considerarse como un espacio vectorial real con el doble de dimensiones, donde una estructura compleja es especificada por un operador lineal J (tal que J 2 = - I ) que define la multiplicación por la unidad imaginaria i .
Cualquiera de esos espacios, como un espacio real, está orientado . En el plano complejo considerado como un plano cartesiano , la multiplicación por un número complejo w = u + iv puede representarse mediante la matriz real
con determinante
Asimismo, si se expresa cualquier operador lineal complejo de dimensión finita como una matriz real (que estará compuesta por bloques 2 × 2 de la forma antes mencionada), entonces su determinante es igual al cuadrado del valor absoluto del determinante complejo correspondiente. Es un número no negativo, lo que implica que la orientación (real) del espacio nunca se invierte por un operador complejo. Lo mismo se aplica a los jacobianos de funciones holomorfas de a .
Espacio conectado
Todos los productos de una familia de espacios conectados (respectivamente conectados a una ruta) están conectados (o conectados a una ruta).
Compacto
Del teorema de Tychonoff , el espacio mapeado por el producto cartesiano que consiste en cualquier combinación de espacios compactos es un espacio compacto.
Funciones holomorfas
Una función f definida en un dominiose llama holomórfico si f satisface las dos condiciones siguientes. [nota 4] [ref 2]
- f es continua [nota 5] en D [nota 6]
- Para cada variable , f es holomórfico, es decir,
( 1 )
que es una generalización de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (usando una derivada parcial de Wirtinger ), y tiene el origen de los métodos de ecuaciones diferenciales de Riemann.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Para cada índice λ sea
y generalizar la ecuación habitual de Cauchy-Riemann para una variable para cada índice λ, entonces obtenemos
( 2 )
Dejar
mediante
las ecuaciones anteriores (1) y (2) resultan equivalentes.
Fórmula integral de Cauchy
f cumple con las condiciones de ser continua y por separado homorphic en el dominio D . Cada disco tiene una curva rectificable, es suavidad por partes, clase Jordan curva cerrada. () Dejar ser el dominio rodeado por cada . Cierre de producto cartesiano es . Además, toma el polidisco para que se convierta . ( y deja ser el centro de cada disco.) Usando la fórmula integral de Cauchy de una variable repetidamente,
Porque es una curva cerrada jordano rectificable [nota 7] y f es continua, por lo que el orden de los productos y las sumas se puede intercambiar por lo que la integral iterada se puede calcular como una integral múltiple . Por lo tanto,
( 3 )
Mientras que en el caso de una variable la fórmula integral de Cauchy es una integral sobre la circunferencia de un disco con cierto radio r , en el caso de varias variables sobre la superficie de un polidisco con radioses como en (3).
Fórmula de evaluación de Cauchy
Debido a que el orden de productos y sumas es intercambiable, de ( 3 ) obtenemos
( 4 )
f es diferenciable cualquier número de veces y la derivada es continua.
De (4), si f es holomorfa, en polidisco y , se obtiene la siguiente ecuación de evaluación.
Por lo tanto, el teorema de Liouville es válido .
Expansión de series de potencia de funciones holomorfas
Si la función f es holomórfica, en polidisco, a partir de la fórmula integral de Cauchy, podemos ver que se puede expandir de forma única a la siguiente serie de potencias.
( 5 )
Además, f que satisface las siguientes condiciones se denomina función analítica.
Por cada punto , se expresa como una expansión en serie de potencias que es convergente en D :
Ya hemos explicado que las funciones holomorfas son analíticas. Además, del teorema derivado por Weierstrass, podemos ver que la función analítica (serie de potencias convergentes) es holomórfica.
- Si una secuencia de funciones que converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D , la función límite f de también uniformemente sobre compacta dentro de un dominio D . Además, la derivada parcial respectiva de también converge de forma compacta en el dominio D a la derivada correspondiente de f .
- [ref 3]
Radio de convergencia de series de potencias
Es posible definir una combinación de números reales positivos tal que la serie de potencia converge uniformemente en y no converge uniformemente en .
De esta manera, es posible tener una combinación similar de radio de convergencia [nota 8] para una variable compleja. Esta combinación generalmente no es única y hay un número infinito de combinaciones.
Teorema de identidad
Cuando la función f, g es holomórfica en el dominio concatenado D , [nota 9] incluso para varias variables complejas, el teorema de identidad [nota 10] se cumple en el dominio D , porque tiene una expansión en serie de potencias en la vecindad del punto holomórfico. Por lo tanto, el principio máximo se mantiene. Además, se cumplen el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita .
Biholomorfismo
A partir del establecimiento del teorema de la función inversa, se puede definir el siguiente mapeo.
Para el dominio U, V del espacio complejo n-dimensional , la función holomórfica biyectiva y el mapeo inverso también es holomórfico. En este momento,También se llama biholomorfismo U, V, decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficos.
El teorema de mapeo de Riemann no es válido
Cuándo , las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficamente equivalentes, es decir, no existe un mapeo biholomórfico entre los dos. Esto fue probado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen diferentes dimensiones como grupos de Lie . [ref 4]
Continuación analítica
Sea U, V dominio en, y . Asumir que y es un componente conectado de. Sientonces se dice que f está conectado a V , y se dice que g es la continuación analítica de f . Según el teorema de la identidad, si g existe, para cada forma de elegir w es única. Si la definición de esta continuación analítica está bien definida o no, debe considerarse si los dominios U, V y W pueden definirse bien. Varias variables complejas tienen restricciones en este dominio, y dependiendo de la forma del dominio, todas las funciones holomórficas f que pertenecen a U están conectadas a V , y puede que no exista una función f concomo el límite natural. En otras palabras, U no se puede definir. Se llama fenómeno de Hartogs. Por lo tanto, investigar cuándo los límites de dominio se convierten en límites naturales se ha convertido en uno de los principales temas de investigación de Varias variables complejas. También, en la dimensión general, no puede haber múltiples intersecciones entre U y V . Es decir, f no está conectada como una función holomórfica de un solo valor , sino como una función holomórfica de varios valores . Esto significa que W no es único y tiene propiedades diferentes en la vecindad del punto de ramificación que en el caso de una variable.
Dominio Reinhardt
Expansión de series de potencia de varias variables complejas Es posible definir la combinación de radio de convergencia similar a la de una variable compleja, pero cada variable no puede definir de forma independiente un radio de convergencia único. El dominio de Reinhardt se considera para investigar las características del dominio de convergencia de la serie de potencias, pero al considerar el dominio de Reinhardt, se puede ver que el dominio de convergencia de la serie de potencias satisface la convexidad denominada logarítmicamente convexa. Hay varias convexidades para el dominio de convergencia de varias variables complejas.
Un dominio D en el espacio complejo, , con centro en un punto , con la siguiente propiedad: Junto con cualquier punto , el dominio también contiene el conjunto
Un dominio D de Reinhardt con es invariante bajo las transformaciones , , . Los dominios Reinhardt constituyen una subclase de los dominios Hartogs [ref 5] y una subclase de los dominios circulares, que se definen por la siguiente condición: Junto con cualquier, el dominio contiene el conjunto
es decir, todos los puntos del círculo con centro y radio que se encuentran en la línea compleja a través de y .
Un dominio de Reinhardt D se denomina dominio de Reinhardt completo si junto con cualquier punto también contiene el polidisco
Un dominio completo de Reinhardt es similar a una estrella con respecto a su centro a . Por lo tanto, el dominio de Reinhardt completo está simplemente conectado , también cuando el dominio de Reinhardt completo es la línea límite, hay una manera de probar el teorema de la integral de Cauchy sin usar el teorema de la curva de Jordan .
Logarítmicamente convexo
Un dominio D de Reinhardt se llama logarítmicamente convexo si la imagen del set
bajo el mapeo
es un conjunto convexo en el espacio real. Una propiedad importante de los dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos es la siguiente: es el interior del conjunto de puntos de convergencia absoluta (es decir, el dominio de convergencia) de alguna serie de potencias en y viceversa: el dominio de convergencia de cualquier serie de potencias en es un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo con centro . [nota 11]
Algunos resultados
Los resultados clásicos de Thullen
Thullen 's [ref 6] resultado clásico dice que un dominio Reinhard acotada 2-dimensional que contiene el origen es biholomorphic a uno de los siguientes dominios, siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismo tiene dimensión positiva:
- (polidisco);
- (bola de unidad);
- (Dominio Thullen).
Teorema de extensión de Hartogs y fenómeno de Hartogs
Mire el ejemplo del fenómeno de Hartogs en términos del dominio Reinhardt.
- En el polidisco que consta de dos discos Cuándo .
- Dominio interno de
- El teorema de la extensión de Hartogs (1906); [ref 7] Sea f una función holomórfica en un conjunto G \ K , donde G es un dominio en ( N ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G \ K está conectado, entonces arbitraria olomorfo función f , independientemente de la forma en que se elige cada uno puede ser extendido a una función holomorfa único en G . También se denomina teorema de Osgood-Brown y es que para varias variables complejas, los puntos singulares no pueden ser puntos aislados sino puntos de acumulación. Esto significa que las diversas propiedades que se aplican a las variables complejas de una variable no se aplican a varias variables complejas. La naturaleza de estas singularidades también se deriva del teorema de preparación de Weierstrass .
Desde el teorema de la extensión de Hartogs, el dominio de convergencia se extiende desde a . Mirando esto desde la perspectiva del dominio Reinhardt, es el dominio de Reinhardt que contiene el centro z = 0, y el dominio de convergencia de se ha ampliado al dominio Reinhardt completo más pequeño conteniendo . [ref 8]
Los resultados de Sunada
Toshikazu Sunada (1978) [ref 9] estableció una generalización del resultado de Thullen:
- Dos dominios de Reinhardt acotados en n dimensiones y son mutuamente biholomórficos si y solo si existe una transformación dada por , siendo una permutación de los índices), de modo que .
Dominio de la holomorfia
Al pasar de la teoría de una variable compleja a la teoría de varias variables complejas, dependiendo del rango del dominio, puede que no sea posible definir una función holomórfica de manera que el límite del dominio se convierta en un límite natural. Considerando el dominio donde los límites del dominio son límites naturales (es decir, dominio de holomorfia), el primer resultado en el dominio de holomorfia (en.) Fue la convexidad holomorphic de H . Cartan y Thullen. El problema de Levi muestra que el dominio pseudoconvexo era un dominio de holomorfia. (Primero por, [ref 10] luego extendido a. [ref 11] [ref 12] ) [ref 13] También el idéal de domaines indéterminés de Kiyoshi Oka [ref 14] [ref 15] es interpretado por Cartan. [ref 16] [nota 12] En la teoría de la gavilla [ref 17] , el dominio de la holomorfia se ha llegado a interpretar como la teoría de las variedades de Stein. [ref 18]
Definición
Cuando una función f es holomórpica en el dominioy no se puede conectar directamente al dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio, el dominio D se llama dominio de holomorfia de f y el límite se llama límite natural de f . En otras palabras, el dominio de la holomorfia D es el supremo del dominio donde la función holomórfica f es holomórfica, y el dominio D , que es holomórfico, ya no puede extenderse. Para varias variables complejas, es decir, dominio, los límites pueden no ser límites naturales. El teorema de la extensión de Hartogs da un ejemplo de un dominio donde los límites no son límites naturales.
Formalmente, un dominio D en el n espacio complejo coordinar -dimensionalse llama dominio de holomorfia si no existe un dominio no vacío y , y tal que para cada función holomórfica f en D existe una función holomórfica g en V conen U .
Para el caso, el cada dominio () era el dominio de la holomorfia; podemos definir una función holomórfica con ceros que se acumulan en todas partes en el límite del dominio, que entonces debe ser un límite natural para un dominio de definición de su recíproco.
Casco holomórficamente convexo
El primer resultado sobre las propiedades del dominio de la holomorfia es la convexidad holomórfica de Henri Cartan y Peter Thullen (1932). [ref 19]
El casco holomórficamente convexo de un conjunto compacto dado en el espacio complejo n -dimensional se define de la siguiente manera.
Dejar ser un dominio, o alternativamente para una definición más general, deje frijol variedad analítica compleja dimensional . Además dejarepresentar el conjunto de funciones holomorfas en G . Para un conjunto compacto, el casco holomórficamente convexo de K es
Se obtiene un concepto más estrecho de casco polinomialmente convexo tomandoen lugar de ser el conjunto de funciones polinómicas de valor complejo en G . El casco polinomialmente convexo contiene el casco holomórficamente convexo.
El dominio se llama holomórficamente convexo si para cada subconjunto compactotambién es compacto en G . A veces, esto se abrevia simplemente como holomorfo-convexo .
Cuándo , cada dominio es holomórficamente convexo desde entonces es la unión de con los componentes relativamente compactos de .
Si satisface la convexidad holomórfica anterior tiene las siguientes propiedades. El radio del polidisco satisface la condición también el conjunto compacto satisface y es el dominio. En el tiempo que, cualquier función holomórfica en el dominio puede ser analítica directa continuada hasta .
Levi convexo (aproximado desde el interior en el dominio del poliedro analítico)
Es la unión de una secuencia creciente de superficies compactas analíticas con propiedades convexas paracompactas y holomórficas de manera que . es decir, aproximado desde el interior por poliedro analítico . [nota 13]
Pseudoconvexo
Hartogs pseudoconvexos demostró que es subarmónico para el radio de convergencia en la serie de Hartogs cuando la serie Hartogs es de una variable . Si tal relación se mantiene en el dominio de la holomorfia de varias variables complejas, parece una condición más manejable que una convexa holomórfica. [nota 14] La función subarmónica parece una especie de función convexa , por lo que Levi la nombró dominio pseudoconvexo (o pseudoconvexo de Hartogs ). Los dominios pseudoconvexos son importantes, ya que permiten la clasificación de dominios de holomorfia.
Definición de función plurisubarmónica
- Una función
- con dominio
se llama plurisubarmónico si es semicontinuo superior , y para cada línea compleja
- con
- la función es una función subarmónica en el conjunto
- En total generalidad , la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo. como sigue. Una función semicontinua superior
- se dice que es plurisubarmónico si y solo si para cualquier mapa holomórfico
la función
es subarmónico, donde denota la unidad de disco.
En una variable compleja, condición necesaria y suficiente para que la función de valor real , que puede ser diferenciable de segundo orden con respecto a z de una función compleja de una variable es subarmónico es. Por tanto, si es de clase , luego es plurisubarmónico si y solo si la matriz hermitiana es semidefinido positivo.
Equivalentemente, un -función u es plurisubarmónica si y solo sies una forma positiva (1,1) . [ref 20]
Función estrictamente plurisubarmónica
Cuando la matriz hermitiana de u es positiva-definida y clase, llamamos u una función plurisubarmónica estricta.
(Débilmente) pseudoconvexo (p-pseudoconvexo)
El pseudoconvexo débil se define como: Let ser un dominio. Se dice que X es pseudoconvexo si existe una función plurisubarmónica continua en X tal que el conjuntoes un subconjunto relativamente compacto de X para todos los números reales x . [nota 15] es decir, existe una función de agotamiento plurisubarmónico suave. A menudo, la definición de pseudoconvexo se usa aquí y se escribe como; Sea X una variedad compleja n- dimensional. Entonces se dice que es un pseudoconvexo débil, existe una función de agotamiento plurisubarmónico suave. [ref 21]
Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo
Sea X una variedad compleja n- dimensional. Fuertemente pseudoconvexo si existe una función de agotamiento suave estrictamente plurisubarmónica,es decir es positivo definido en cada punto. El dominio fuertemente pseudoconvexo es el dominio pseudoconvexo. [ref 21] El dominio pseudoconvexo de Levi fuerte se llama simplemente pseudoconvexo fuerte y a menudo se llama estrictamente pseudoconvexo para dejar en claro que tiene una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica en relación con el hecho de que puede no tener una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica. [ref 22]
(Débilmente) Levi (–Krzoska) pseudoconvexidad
Si límite, se puede demostrar que D tiene una función definitoria; es decir, que existe cual es así que eso , y . Ahora, D es pseudoconvexo iff para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir,
- , tenemos
Para una variedad compleja arbitraria, la pseudoconvexidad de Levi (–Krzoska) no siempre tiene una función de agotamiento plurisubarmónico, es decir, no necesariamente tiene un dominio (p-) pseudoconvexo. [ref 22]
Si D no tiene límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil.
Proposición 1 Si D es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos fuertemente Levi delimitados con límite ( suave ) que son relativamente compactos en D , de modo que
Esto se debe a que una vez que tenemos un como en la definición podemos encontrar un función de agotamiento.
Fuertemente pseudoconvexidad de Levi (–Krzoska) (Fuertemente pseudoconvexo)
Cuando la forma Levi (–Krzoska) es positiva-definida, se la denomina fuertemente pseudoconvexa Levi (–Krzoska) o, a menudo, simplemente se denomina fuertemente pseudoconvexa.
Levi pseudoconvexo total
Si por cada punto límite de D , existe una variedad analítica paso que se encuentra completamente fuera de D en algún vecindario alrededor, excepto el punto sí mismo. El dominio D que satisface estas condiciones se denomina pseudoconvexo total de Levi. [ref 23]
Oka pseudoconvexo
Familia del disco de Oka
Deje n -funciones ser continuo en , holomórfico en cuando el parámetro t se fija en [0, 1], y se supone que no son todos cero en ningún punto de . Entonces el setse denomina disco analítico que depende de un parámetro t , yse llama su caparazón. Si y , Q (t) se denomina disco de la familia de Oka. [ref 23]
Definición
Cuándo se mantiene en cualquier disco de Family of Oka, D se llama Oka pseudoconvex. [ref 23] La prueba de Oka del problema de Levi fue que cuando el dominio riemanniano no ramificado [ref 24] era un dominio de holomorfia (holomorficamente convexo), se probó que era necesario y suficiente que cada punto límite del dominio de holomorfia sea un Oka pseudoconvexo. [ref 11]
Cartan pseudoconvexo (propiedad local de Levi)
Por cada punto existe una zona de U de x y f en holomorphic ( es decir ser holomórficamente convexa.) tal que f no puede extenderse a ninguna vecindad de x . Esta propiedad se denomina propiedad local de Levi y el dominio que satisface esta propiedad se denomina dominio pseudoconvexo de Cartan. Enel dominio pseudoconvexo de Cartan es en sí mismo un dominio pseudoconvexo y es un dominio de holomorfia. [ref 23]
Condiciones equivalentes (en relación con el problema de Levi)
Por un dominio Las siguientes condiciones son equivalentes. [nota 16] :
- D es un dominio de holomorfia.
- D es holomórfica convexa.
- D es Levi convexo.
- D es pseudoconvexo.
- D es Cartan pseudoconvexo.
Las implicaciones , [nota 17] , [nota 18] yson resultados estándar. Prueba, es decir, la construcción de una función holomórfica global que no admite extensión de funciones no ampliables definidas sólo localmente. Esto se llama el problema de Levi (después de EE Levi ) y fue resuelto primero por Kiyoshi Oka, [nota 19] y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia de-problema).
Propiedades del dominio de la holomorfia
- Si son dominios de holomorfia, entonces su intersección también es un dominio de la holomorfia.
- Si es una secuencia creciente de dominios de holomorfia, entonces su unión también es un dominio de la holomorfia (véase el teorema de Behnke-Stein ).
- Si y son dominios de holomorfia, entonces es un dominio de la holomorfia.
- El problema del primer primo siempre se puede resolver en un dominio de holomorfia; esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema de Cousin.
Gavilla
Gavilla coherente
Definición
La definición de la gavilla coherente es la siguiente. [ref 30]
Una gavilla coherente en un espacio anillado es una gavilla satisfaciendo las siguientes dos propiedades:
- es de tipo finito sobre, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que hay un morfismo sobreyectivo por algún número natural ;
- para cualquier conjunto abierto , cualquier número natural , y cualquier morfismo de -módulos, el núcleo de es de tipo finito.
Los morfismos entre haces (cuasi) coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos.
Además, Jean-Pierre Serre (1955) [ref 30] demuestra que
- Si en una secuencia exacta de gavillas de -módulos dos de las tres poleas son coherentes, entonces el tercero también lo es.
Una gavilla casi coherente en un espacio anillado es una gavilla de - módulos que tienen una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta
para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y .
Teorema coherente de Oka para el haz de germen de función holomórfica
Kiyoshi Oka (1950) [ref 14] [ref 31] demostró lo siguiente
- Gavilla de germen de función holomórfica en la variedad compleja está la gavilla coherente . Por lo tanto, del teorema de Serre (1955) anterior, es también una gavilla coherente. Este teorema también se usa para probar los teoremas A y B de Cartan .
Gavilla ideal
Si es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano , la gavilla de todas las funciones regulares que desaparecen en es coherente. Asimismo, si es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo , la gavilla ideal es coherente.
Problema de la prima
En el caso de funciones complejas de una variable, el teorema de Mittag-Leffler fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de un polo dado, y el teorema de factorización de Weierstrass fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de un cero dado. La teoría de la superficie de Riemann sugiere que en funciones complejas multivariadas, el teorema similar que se cumple para funciones complejas de una variable no se cumple a menos que se agreguen varias restricciones a la variedad compleja abierta. Este problema se denomina problema de Cousin y está formulado en términos de cohomología Sheaf. Fueron introducidos en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. [ref 32] Fue Kiyoshi Oka quien dio la respuesta completa a esta pregunta. [ref 33] [ref 34] [ref 35]
Problema del primo hermano
Definición sin palabras Gavilla
Cada diferencia es una función holomórfica, donde se define. Pide una función meromórfica f en M tal quees holomórfico en U i ; en otras palabras, que f comparte el comportamiento singular de la función local dada.
Definición usando palabras de Gavilla
Deje que K sea la gavilla de funciones meromorfas y O la gavilla de funciones holomorfas en M . Si el siguiente mapa es sobreyectivo, el primer problema de Cousin se puede resolver.
Por la larga secuencia de cohomología exacta ,
es exacto, por lo que el primer problema de Cousin siempre se puede resolver siempre que el primer grupo de cohomología H 1 ( M , O ) desaparezca. En particular, según el teorema B de Cartan , el problema de Cousin siempre se puede resolver si M es una variedad de Stein.
Problema del segundo primo
Definición sin palabras Gavilla
Cada proporción es una función holomórfica que no desaparece, donde se define. Pide una función meromórfica f en M tal que es holomórfico y no desaparece.
Definición usando palabras de Gavilla
dejar ser el haz de funciones holomorfas que se desvanecen en ninguna parte, y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Estos son, entonces, gavillas de grupos abelianos , y el cociente gavillaestá bien definido. Si el siguiente mapa es sobreyectiva, entonces el problema del segundo primo puede resolverse.
La secuencia larga y exacta de cohomología de la gavilla asociada al cociente es
por lo que el problema del segundo primo se puede resolver en todos los casos siempre que
El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa en se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, hay una secuencia exacta de gavillas.
donde la gavilla más a la izquierda es la gavilla localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo al nivel de H 1 está en, de la larga secuencia de cohomología exacta
Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque por de modo que una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el problema del segundo primo sea siempre solucionable es que
Colectores con varias variables complejas
Colector Stein (colector no compacto)
Dado que una superficie de Riemann abierta [ref 36] siempre tiene una función holomórfica de valor único no constante [ref 37] y satisface el segundo axioma de contabilidad , se consideró la superficie de Riemann para incrustar el plano complejo unidimensional en una variedad compleja. De hecho, tomar un punto en el infinito en el plano complejo unidimensionallo extendió a la esfera de Riemann. El teorema de la incrustación de Whitney nos dice que cada variedad n- dimensional suave se puede incrustar como una subvariedad suave de, mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomórfica en . Considere, por ejemplo, la variedad compleja X arbitraria compacta conectada : cada función holomórfica en ella es constante según el teorema de Liouville. Ahora que sabemos que para Varias variables complejas, las variedades complejas no siempre tienen funciones holomórficas que no sean constantes, considere las condiciones que tienen funciones holomórficas. Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomórfica de X en, entonces las funciones de coordenadas de se restringiría a funciones holomórficas no constantes en X , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que X sea solo un punto. Variedades complejas que se pueden incrustar ense llaman variedades de Stein. También las variedades de Stein satisfacen el segundo axioma de contabilidad.
Una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas. Fueron introducidos y nombrados por Karl Stein (1951). [ref 38] Un espacio Stein es similar a una variedad Stein pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. Si el dominio univalente enEsta conexión con una variedad, puede considerarse como una variedad compleja y satisface la condición de separación que se describe más adelante, la condición para convertirse en una variedad de Stein es satisfacer la convexidad holomórfica. Por lo tanto, la variedad de Stein son las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica.
Definición
Supongamos que X es una variedad compleja paracompacta de dimensión compleja y deja denotar el anillo de funciones holomorfas en X . Llamamos a X una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones:
- X es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto, el llamado casco holomórficamente convexo ,
- es también un compacto subconjunto de X .
- X es holomórficamente separable, es decir, sihay dos puntos en X , entonces existe tal que
- La vecindad abierta de cualquier punto de la variedad tiene un gráfico holomórfico a la.
Las superficies no compactas (abiertas) de Riemann son Stein
Sea X una superficie de Riemann conectada, no compacta (abierta) . Un teorema profundo (1939) [ref 39] de Heinrich Behnke y Stein (1948) [ref 37] afirma que X es una variedad de Stein.
Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo paquete de vectores holomórficos en X es trivial. En particular, cada paquete de líneas es trivial, por lo que. La secuencia exponencial de la gavilla conduce a la siguiente secuencia exacta:
Ahora el teorema B de Cartan muestra que, por lo tanto .
Esto está relacionado con la solución del segundo problema de primos (multiplicativo) .
Problema de Levi
Cartan extendió el problema de Levi a las variedades Stein. [ref 40]
- Si el subconjunto abierto compacto relativode la variedad Stein X es una pseudoconvexa de Cartan, entonces D es una variedad Stein y, a la inversa, si D es una pseudoconvexa de Cartan, entonces X es una variedad Stein. es decir, entonces X es una variedad Stein si y solo si D es localmente la variedad Stein. [ref 41]
Esto fue probado por Bremermann [ref 42] incrustándolo en una dimensión suficientemente altay reduciéndolo al resultado de Oka. [ref 11]
Además, Grauert probó variedades complejas arbitrarias. [ref 43] [ref 13] [ref 44]
- Si el subconjunto compacto relativo de una variedad compleja arbitraria X es un pseudoconvexo fuerte [nota 20] en X , entonces X es un convexo holomórfico (es decir, variedad Stein). Además, D es en sí mismo una variedad Stein.
Propiedades y ejemplos de variedades de Stein
- El espacio complejo estándar [nota 21] es una variedad Stein.
- Todos los dominios de la holomorfia en es una variedad Stein.
- Se puede demostrar con bastante facilidad que cada subvarietal complejo cerrado de una variedad Stein es también una variedad Stein.
- El teorema de incrustación para las variedades de Stein establece lo siguiente: Cada variedad de Stein X de dimensión compleja n se puede incrustar enpor un mapa biholomórfico propio . [ref 46] [ref 47]
Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada de espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiental (porque la incrustación es biholomórfica).
- Cada variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un Complejo CW n- dimensional.
- En una dimensión compleja, la condición Stein se puede simplificar: una superficie Riemann conectada es un colector Stein si y solo si no es compacta. Esto se puede demostrar usando una versión del teorema de Runge [ref. 48] para superficies de Riemann, [nota 22] debido a Behnke y Stein. [ref 37]
- Cada colector X de Stein se puede untar holomórficamente, es decir, para cada punto, hay n funciones holomórficas definidas en todo X que forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a alguna vecindad abierta de x .
- El primer problema de Cousin siempre se puede resolver en un colector Stein.
- Ser una variedad Stein es equivalente a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), [ref 43] es decir, una función real suaveen X (que se puede suponer que es una función Morse ) con, de modo que los subconjuntos son compactos en X para cada número real c . Esta es una solución al llamado problema de Levi , [ref 49] llamado así por EE Levi (1911). La funcióninvita a una generalización de la variedad Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con un límite llamado dominio de Stein . (por ejemplo, la extensión del problema de Levi. [ref 50] [ref 51] [ref 44] ) Un dominio Stein es la preimagen. Algunos autores llaman a tales variedades, por lo tanto, variedades estrictamente pseudoconvexas.
- Relacionado con el ítem anterior, otra definición equivalente y más topológica en la dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie Stein es una superficie compleja X con una función Morse de valor real f sobre X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el campo de tangencias complejas a la preimagenes una estructura de contacto que induce una orientación en X c de acuerdo con la orientación habitual como el límite de Es decir, es un relleno Stein de X c .
Existen numerosas caracterizaciones adicionales de tales variedades, en particular capturando la propiedad de tener "muchas" funciones holomórficas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de la gavilla .
En el conjunto de analogías de GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines .
Las variedades de Stein son en cierto sentido duales a las variedades elípticas en el análisis complejo que admiten "muchas" funciones holomórficas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomórfica".
Variedades proyectivas complejas (colector compacto)
Considerada en el caso de una función compleja de una variable, la superficie compacta de Riemann tenía una función meromórfica de valor único no constante. [ref 36] La variedad compleja unidimensional compacta era la esfera de Riemann. Sin embargo, para variedades complejas compactas de alta dimensión (varias variables complejas), la existencia de funciones meromórficas no puede indicarse fácilmente porque la singularidad no es un punto aislado. Considere expandir la superficie Riemann cerrada (compacta) a una dimensión más alta, como, por ejemplo, incrustar el sub colector M complejo cerrado en el. En variedades complejas de alta dimensión, ocurre el fenómeno de que el grupo de cohomología de la gavilla desaparece, y es el teorema de desaparición de Kodaira y su generalización el teorema de desaparición de Nakano, etc., lo que da la condición para que ocurra este fenómeno. El teorema de incrustación de Kodaira [ref 52] da una variedad compleja de Kähler M , con una métrica de Hodge de dimensión N suficientemente grande en un espacio proyectivo complejo , y también incrustada del teorema de Chow [ref 53] en una variedad algebraica . Estos dan un ejemplo de incrustaciones en variedades con funciones meromórficas.
Ver también
- Geometría compleja
- Colector CR
- Mapas de armónicos
- Morfismos armónicos
- Holomorfia de dimensión infinita
- Teorema de Oka-Weil
Anotación
- ^ Ese es un subconjunto conectado abierto .
- ^ un nombre adoptado, confusamente, para la geometría de ceros de funciones analíticas: esta no es la geometría analítica aprendida en la escuela
- ^ El campo de números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre números reales.
- ^ Esto puede parecer no trivial, pero se conoce como el lema de Osgood . El lema de Osgood se puede probar a partir del establecimiento de la fórmula integral de Cauchy, también se puede probar la fórmula integral de Cauchy asumiendo holomorfismo y continuidad separadas, por lo que es apropiado definirlo de esta manera.
- ^ No es continuo separado.
- ^ Utilizando el teorema de Hartogs sobre holomorficidad separada , si se cumple la condición (ii), se deducirá que es continua. Pero, no existe un teorema similar a varias variables reales , y no hay ningún teorema que indique la continuidad de la función, asumiendo diferenciabilidad.
- ^ De acuerdo con el teorema de la curva de Jordan, el dominio D es un conjunto cerrado acotado.
- ^ Pero hay un punto en el que converge fuera del círculo de convergencia. Por ejemplo, si una de las variables es 0, entonces algunos términos, representados por el producto de esta variable, serán 0 independientemente de los valores tomados por las otras variables. Por lo tanto, incluso si toma una variable que diverge cuando una variable es distinta de 0, puede converger.
- ^ Para varias variables, el límite de cualquier dominio no siempre es el límite natural, por lo que, dependiendo de cómo se tome el dominio, puede que no haya una función holomórfica que haga de ese dominio el límite natural. Consulte el dominio de la holomorfia para ver un ejemplo de una condición en la que el límite de un dominio es un límite natural.
- ^ Tenga en cuenta que, a partir del teorema de la extensión de Hartogs o del teorema de preparación de Weierstrass , los ceros de las funciones holomórficas de varias variables no son puntos aislados. Por tanto, para varias variables no es suficiente que se satisface en el punto de acumulación.
- ^ El párrafo final se reduce a: Un dominio de Reinhardt es un dominio de holomorfia si y solo si es logarítmicamente convexo.
- ↑ La idea de la gavilla en sí es de Jean Leray .
- ^ no puede ser "tocado desde adentro" por una secuencia de superficies analíticas
- ↑ De hecho, Kiyoshi Oka [ref 10] demostró estocon respecto adominio Ver el lema de Oka
- ^ Esta es una condición de casco hullomorphically convexa expresada por una función plurisubarmónica. Por esta razón, también se le llama p-pseudoconvexo o simplemente p-convexo.
- ^ En geometría algebraica, existe el problema de si es posible eliminar el punto singular del espacio analítico complejo realizando una operación llamada modificación [ref 25] [ref 26] en el espacio analítico complejo (cuando n = 2, el resultado por Hirzebruch, [ref 27] cuando n = 3 el resultado de Zariski [ref 28] para variedad algebraica.), pero, Grauert y Remmert han reportado un ejemplo de un dominio que no es ni pseudoconvexo ni holomórfico convexo, aunque es un dominio de la holomorfia. [ref 29]
- ^ El teorema de Cartan-Thullen
- ^ Ver el lema de Oka
- ^ La prueba de Oka usa Oka pseudoconvex en lugar de Cartan pseudoconvex.
- ^ Esta condición no se puede reemplazar con un pseudoconvexo de Cartan como en el caso de una variedad Stein, es decir, "Si la subvarietal compleja cerrada en el dominio no ramificado enes un pseudoconvexo de Cartan, es un colector de Stein. "actualmente no está resuelto. [ref 45]
- ^ ( es un complejo proyectivo de variedades) no se convierte en una variedad de Stein, incluso si satisface la convexidad holomórfica.
- ^ El método de prueba utiliza una aproximación por el dominio poliédrico , como en el teorema de Oka-Weil .
Referencias
Citas en línea
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1-42, doi : 10.5802 / aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175
- ^ Osgood, William F. (1899), "Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 52 : 462–464, doi : 10.1007 / BF01476172 , ISSN 0025-5831 , JFM 30.0380.02 , S2CID 121407
- ^ Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Poincaré, M. Henri (1907). "Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 23 : 185–220. doi : 10.1007 / BF03013518 .
- ^ Chirka, EM (2001) [1994], "Dominio de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Peter Thullen, Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veraenderlichen Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskoerpern, Matt. Ana. 104 (1931), 244-259
- ^ Hartogs, Fritz (1906), "Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen". , Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán), 36 : 223–242, JFM 37.0443.01
- ^ Cartan, Henri (1931). "Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 10 : 1–116. Zbl 0001.28501 .
- ^ Tosikazu Sunada, Problema de equivalencia holomórfica para dominios limitados de Reinhaldt, Matemáticas. Ana. 235 (1978), 111–128
- ^ a b Oka, Kiyoshi (1942), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VI. Domaines pseudoconvexes", Tohoku Mathematical Journal , Primera Serie, 49 : 15–52, ISSN 0040-8735 , Zbl 0060.24006
- ^ a b c Oka, Kiyoshi (1953), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. IX. Domaines finis sans point critique intérieur", Revista japonesa de matemáticas: transacciones y resúmenes , 23 : 97-155, doi : 10.4099 / jjm1924.23.0_97 , ISSN 0075-3432
- ^ Hans J. Bremermann (1954), "Über die Äquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holomorphiegebiete im Raum vonn komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen , 106 : 63–91, doi : 10.1007 / BF01360125 , S2CID 119837287
- ^ a b Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930-2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . doi : 10.1365 / s13291-013-0061-7 .
- ^ a b Oka, Kiyoshi (1950), "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VII. Sur quelques notions arithmétiques" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 1–27, doi : 10.24033 / bsmf.1408 , ISSN 0037-9484 , MR 0035831
- ^ Oka, Kiyoshi (1951), "Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental", Fondamental. J. Math. Soc. Japón , 3 (1): 204–214, doi : 10.2969 / jmsj / 00310204, Oka, Kiyoshi (1951), "Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental (Suite)", ibid (2): 259-278, doi : 10.2969 / jmsj / 00320259
- ^ Cartan, Henri (1953). "Variétés analytiques complexes et cohomologie". Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruselas : 41–55. Señor 0064154 . Zbl 0053.05301 .
- ^ Numdam.org , Cartan, H., Eilenberg, Samuel., Serre, JP., Séminaire Henri Cartan Tome 3 (SHC_1950-1951)
- ^ Numdam.org , Cartan, H., Bruhat, F., Cerf, Jean., Dolbeault, P., Frenkel, Jean., Hervé, Michel., Malatian., Serre, JP., Séminaire Henri Cartan Tome 4 (1951 -1952)
- ^ Henri Cartan & Peter Thullen (1932), "Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen Regularitäts-und Konvergenzbereiche", Mathematische Annalen , 106 : 617–647, doi : 10.1007 / BF01455905
- ^ Geometría diferencial y analítica compleja pp.39-40
- ^ a b Geometría diferencial y analítica compleja p.49
- ^ a b Diederich, Klas; Fornaess, John Erik (1982). "Un dominio pseudoconvexo suave sin agotamiento pseudoconvexo". Manuscripta Mathematica . 39 : 119-123. doi : 10.1007 / BF01312449 .
- ^ a b c d Sin Hitomatsu (1958), "Sobre algunas conjeturas sobre dominios pseudoconvexos", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 6 (2): 177-195, doi : 10.2969 / jmsj / 00620177 , Zbl 0057.31503
- ^ Solomentsev, ED (2001) [1994], "Dominio de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Heinrich Behnke y Karl Stein (1951), "Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und Riernannscher Gebiete", Mathematische Annalen , 124 : 1–16, doi : 10.1007 / BF01343548 , S2CID 120455177 , Zbl 0043.30301
- ^ Onishchik, AL (2001) [1994], "Modificación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Friedrich Hirzebruch (1953), "Über vierdimensionaleRIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen , 126 : 1-22, doi : 10.1007 / BF01343146 , hdl : 21.11116 / 0000-0004-3A47-C , S2CID 122862268
- ^ Oscar Zariski (1944), "Reducción de las singularidades de las variedades tridimensionales algebraicas", Annals of Mathematics , Second Series, 45 (3): 472–542, doi : 10.2307 / 1969189 , JSTOR 1969189
- ^ Hans Grauert y Reinhold Remmert (1956), "Konvexität in der komplexen Análisis Nicht-holomorph-konvexe Holomorphiegebiete und Anwendungen auf die Abbildungstheorie.", Commentarii Mathematici Helvetici , 31 : 152-183, doi : 10.1007 / BF02564357 , S2CID 117913713 , Zbl 0.073,30301
- ^ a b Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874
- ^ Noguchi, Junjiro (2019), "Un teorema de coherencia débil y comentarios a la teoría de Oka" (PDF) , Kodai Math. J. , 42 (3): 566–586, arXiv : 1704.07726 , doi : 10.2996 / kmj / 1572487232 , S2CID 119697608
- ^ Primo, Pierre (1895). "Sur les funciones de n variables complejas" . Acta Mathematica . 19 : 1-61. doi : 10.1007 / BF02402869 .
- ^ Oka, Kiyoshi (1936). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. I. Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles" . Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 6 : 245-255. doi : 10.32917 / hmj / 1558749869 .
- ^ Oka, Kiyoshi (1937). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. II – Domaines d'holomorphie" . Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 7 : 115-130. doi : 10.32917 / hmj / 1558576819 .
- ^ Oka, Kiyoshi (1939). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. III – Deuxième problème de Cousin" . Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 9 : 7-19. doi : 10.32917 / hmj / 1558490525 .
- ^ a b Weyl, Hermann (2009) [1913], El concepto de una superficie de Riemann (3ª ed.), Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, MR 0069903
- ^ a b c Heinrich Behnke y Karl Stein (1948), "Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen", Mathematische Annalen , 120 : 430–461, doi : 10.1007 / BF01447838 , S2CID 122535410 , Zbl 0038.23502
- ^ Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Matemáticas. Ana. (en alemán), 123 : 201–222, doi : 10.1007 / bf02054949 , MR 0043219 , S2CID 122647212
- ^ Behnke, H .; Stein, K. (1939). "Konvergente Folgen von Regularitätsbereichen und die Meromorphiekonvexität". Mathematische Annalen . 116 : 204–216. doi : 10.1007 / BF01597355 .
- ^ Cartan, Henri (1957). "Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complexes" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 85 : 77–99. doi : 10.24033 / bsmf.1481 .
- ^ Barth, Theodore J. (1968). "Familias de divisores no negativos" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 131 : 223–245. doi : 10.1090 / S0002-9947-1968-0219751-3 .
- ^ Bremermann, Hans J. (1957). "Sobre el teorema de Oka para las variedades de Stein". Seminarios sobre funciones analíticas. Instituto de Estudios Avanzados (Princeton, Nueva Jersey) . 1 : 29–35.
- ^ a b Hans Grauert (1958), "Sobre el problema de Levi y la incrustación de variedades analíticas reales", Annals of Mathematics , Second Series, 68 (2): 460–472, doi : 10.2307 / 1970257 , JSTOR 1970257 , Zbl 0108.07804
- ^ a b Sibony, Nessim (2018). "Problema de Levi en variedades complejas". Mathematische Annalen . 371 (3–4): 1047–1067. arXiv : 1610.07768 . doi : 10.1007 / s00208-017-1539-x .
- ^ Fornæss, John Erik; Sibony, Nessim (2001). "Algunos problemas abiertos en análisis complejos de dimensiones superiores y dinámicas complejas" . Publicacions Matemàtiques . 45 (2): 529–547. doi : 10.5565 / PUBLMAT_45201_11 . JSTOR 43736735 .
- ^ Raghavan, Narasimhan (1960). "Incrustación de espacios complejos holomórficamente completos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 82 (4): 917–934. doi : 10.2307 / 2372949 . JSTOR 2372949 .
- ^ Eliashberg, Yakov; Gromov, Mikhael (1992). "Incrustaciones de colectores Stein de dimensión n en el espacio afín de dimensión 3n / 2 +1". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 136 (1): 123-135. doi : 10.2307 / 2946547 . JSTOR 2946547 .
- ^ Simha, RR (1989). "El teorema de Behnke-Stein para superficies abiertas de Riemann" . Actas de la American Mathematical Society . 105 (4): 876–880. doi : 10.2307 / 2047046 . JSTOR 2047046 .
- ^ Onishchik, AL (2001) [1994], "Problema de Levi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Narasimhan, Raghavan (1961). "El problema de Levi para espacios complejos". Mathematische Annalen . 142 (4): 355–365. doi : 10.1007 / BF01451029 .
- ^ Narasimhan, Raghavan (1962). "El problema de Levi para espacios complejos II". Mathematische Annalen . 146 (3): 195–216. doi : 10.1007 / BF01470950 .
- ^ Kodaira, K. (1954). "Sobre variedades de Kahler de tipo restringido (una caracterización intrínseca de variedades algebraicas)". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 60 (1): 28–48. doi : 10.2307 / 1969701 . JSTOR 1969701 .
- ^ Chow, Wei-Liang (1949). "Sobre variedades analíticas complejas compactas". Revista Estadounidense de Matemáticas . 71 (2): 893–914. doi : 10.2307 / 2372375 . JSTOR 2372375 .
Libros de texto
- H. Behnke y P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen (1934)
- Salomon Bochner y WT Martin Varias variables complejas (1948)
- Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , Graduate Text in Mathematics, 81 , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7
- Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teoría de los espacios Stein , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR 0580152
- BV Shabat, Introducción al análisis complejo , 1-2 , Moscú (1985) (en ruso)
- VS Vladimirov, Métodos de la teoría de funciones de muchas variables complejas , MIT (1966) (Traducido del ruso)
- Boris Vladimirovich Shabat, Introducción al análisis complejo , AMS, 1992
- Lars Hörmander (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables (3ª ed.), Holanda del Norte, ISBN 978-1-493-30273-4
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes , París, Hermann, 1975.
- Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas , Dover 1995 (edición de traducción al inglés)
- Krantz, Steven G. (1992), Teoría de funciones de varias variables complejas (segunda ed.), AMS Chelsea Publishing, p. 340, doi : 10.1090 / chel / 340 , ISBN 978-0-8218-2724-6
- R. Michael Range, Funciones holomorfas y representaciones integrales en varias variables complejas , Springer 1986, 1998
- Volker Scheidemann, Introducción al análisis complejo en varias variables , Birkhäuser, 2005, ISBN 3-7643-7490-X
- Noguchi, Junjiro (2016), Teoría de funciones analíticas de varios elementos variables de la coherencia de Oka , p. XVIII, 397, doi : 10.1007 / 978-981-10-0291-5 , ISBN 978-981-10-0289-2
Enciclopedia de Matemáticas
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Power series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Mapeo biholomórfico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Dominio Reinhardt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Chirka, EM (2001) [1994], "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Pseudoconvex and pseudoconcave" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función plurisubarmónica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Gavilla coherente" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Chirka, EM (2001) [1994], "Teoremas de Oka" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Chirka, EM (2001) [1994], "Problemas de primos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Stein manifold" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
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Otras lecturas
- Krantz, Steven G. (1987), "¿Qué son varias variables complejas?", The American Mathematical Monthly , 94 (3): 236–256, doi : 10.2307 / 2323391 , JSTOR 2323391
- Oka, Kiyoshi; R., Remmert (Ed.) (1984), Collected Papers , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. XIV, 226, ISBN 978-3-662-43412-3CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
enlaces externos
- Libro de código abierto Tasty Bits of Various Complex Variables de Jiří Lebl
- Geometría diferencial y analítica compleja