La conjetura de Andrica (que lleva el nombre de Dorin Andrica ) es una conjetura sobre las brechas entre los números primos . [1]
La conjetura establece que la desigualdad
se mantiene para todos , dónde es el n- ésimo número primo. Sidenota el n- ésimo espacio principal , entonces la conjetura de Andrica también se puede reescribir como
Evidencia empírica
Imran Ghory ha utilizado datos sobre las brechas principales más grandes para confirmar la conjetura de hasta 1.3002 × 10 16 . [2] Usando una tabla de brechas máximas y la desigualdad de brecha anterior, el valor de confirmación puede extenderse exhaustivamente a 4 × 10 18 .
La función discreta se representa en las figuras de enfrente. Las marcas de agua alta paraocurren para n = 1, 2 y 4, con A 4 ≈ 0.670873 ..., sin un valor mayor entre los primeros 10 5 primos. Dado que la función de Andrica disminuye asintóticamente a medida que n aumenta, se necesita un espacio principal de tamaño cada vez mayor para que la diferencia sea grande a medida que n aumenta. Por lo tanto, parece muy probable que la conjetura sea cierta, aunque aún no se ha demostrado.
Generalizaciones
Como generalización de la conjetura de Andrica, se ha considerado la siguiente ecuación:
dónde es el n- ésimo primo y x puede ser cualquier número positivo.
Se ve fácilmente que la solución más grande posible para x ocurre para n = 1, cuando x max = 1. Se conjetura que la solución más pequeña para x es x min ≈ 0.567148 ... (secuencia A038458 en la OEIS ) que ocurre para n = 30.
Esta conjetura también se ha planteado como una desigualdad , la conjetura generalizada de Andrica:
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Ver también
Referencias y notas
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .