La conjetura de Legendre , propuesta por Adrien-Marie Legendre , establece que existe un número primo entre n 2 y ( n + 1) 2 para todo entero positivo n . La conjetura es uno de los problemas de Landau (1912) sobre números primos; A partir de 2020 [actualizar], la conjetura no ha sido probada ni refutada.
¿Existe siempre al menos un primo entre n 2 y (n + 1) 2 ?
Primeras brechas
La conjetura de Legendre pertenece a una familia de resultados y conjeturas relacionadas con los espacios primos , es decir, con el espaciado entre números primos.
El número primo teorema sugiere que el número real de los números primos entre n 2 y ( n + 1) 2 ( OEIS : A014085 ) es asintótica a n / ln ( n ). Dado que este número es grande para n grande , esto da crédito a la conjetura de Legendre.
Si la conjetura de Legendre es cierta, la brecha entre cualquier primo py el siguiente primo más grande siempre sería como máximo del orden de; [a] en notación O grande , los espacios son. Dos conjeturas más fuertes, la conjetura de Andrica y la conjetura de Oppermann , también implica que tanto los huecos tienen la misma magnitud.
Harald Cramér conjeturó que las brechas son siempre mucho menores, del orden. Si la conjetura de Cramér es cierta, la conjetura de Legendre se seguiría para todo n suficientemente grande . Cramér también demostró que la hipótesis de Riemann implica un límite más débil desobre el tamaño de las brechas primarias más grandes. [1]
Un contraejemplo cercano a 10 18 requeriría una brecha principal cincuenta millones de veces el tamaño de la brecha promedio.
La conjetura de Legendre implica que se puede encontrar al menos un primo en cada media revolución de la espiral de Ulam .
Resultados parciales
De un resultado de Ingham se desprende que para todos los suficientemente grandes, hay un primo entre los cubos consecutivos y . [2]
Baker, Harman y Pintz demostraron que hay un primo en el intervalo para todos los grandes . [3]
Una tabla de espacios primos máximos muestra que la conjetura se mantiene al menos , significado . [4]
Ver también
notas y referencias
- ^ a Esto es una consecuencia del hecho de que la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es del orden de sus raíces cuadradas.
- ^ Stewart, Ian (2013), Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos , libros básicos, p. 164, ISBN 9780465022403.
- ^ OEIS : A060199
- ^ Baker, RC; Harman, G .; Pintz, J. (2001). "La diferencia entre primos consecutivos, II" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . 83 (3): 532–562. doi : 10.1112 / plms / 83.3.532 .
- ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014), "Verificación empírica de la conjetura de Goldbach par y cálculo de brechas primarias hasta", Matemáticas de Computación , 83 (288): 2033–2060, doi : 10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1 , MR 3194140.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Legendre" . MathWorld .
- Hashimoto, Tsutomu (2008). "Sobre cierta relación entre la conjetura de Legendre y el postulado de Bertrand". arXiv : 0807.3690 [ matemáticas.GM ].
- Mitra, Adway; Paul, Goutam; Sarkar, Ushnish (2009). "Algunas conjeturas sobre el número de primos en determinados intervalos". arXiv : 0906.0104 [ matemáticas.NT ].
- Paz, alemán (2013). "Sobre las conjeturas de Legendre, Brocard, Andirca y Oppermann". arXiv : 1310.1323 [ math.NT ].