En teoría de números , la conjetura de Cramér , formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936, [1] es una estimación del tamaño de los espacios entre números primos consecutivos : intuitivamente, los espacios entre primos consecutivos son siempre pequeños, y la conjetura cuantifica asintóticamente justo qué pequeños deben ser. Se afirma que
donde p n denota el n- ésimo número primo , O es la notación O grande y "log" es el logaritmo natural . Si bien esta es la declaración conjeturada explícitamente por Cramér, su heurística en realidad apoya la declaración más fuerte
ya veces esta formulación se llama conjetura de Cramér. Sin embargo, esta versión más fuerte no es compatible con modelos heurísticos más precisos, que sin embargo apoyan la primera versión de la conjetura de Cramér. Ninguna forma ha sido probada ni refutada todavía.
Resultados probados condicionales en brechas primarias
Cramér dio una prueba condicional de la afirmación mucho más débil de que
sobre el supuesto de la hipótesis de Riemann . [1] El enlace incondicional más conocido es
debido a Baker, Harman y Pintz . [2]
En la otra dirección, E. Westzynthius demostró en 1931 que las brechas primarias crecen más que logarítmicamente. Es decir, [3]
Su resultado fue mejorado por RA Rankin , [4] quien demostró que
Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue probado en 2014 por Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin y Terence Tao . [5]
Justificación heurística
La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico , esencialmente heurístico, en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1 / log x . Esto se conoce como modelo aleatorio de Cramér o modelo Cramér de los números primos. [6]
En el modelo aleatorio de Cramér,
con probabilidad uno . [1] Sin embargo, como señaló Andrew Granville , [7] El teorema de Maier muestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de primos en intervalos cortos, y un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por pequeños primos sugiere que( OEIS : A125313 ), dondees la constante de Euler-Mascheroni . János Pintz ha sugerido que el límite sup puede ser infinito, [8] y de manera similar Leonard Adleman y Kevin McCurley escriben
- Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los espacios entre primos consecutivos, la formulación exacta de la conjetura de Cramér ha sido cuestionada [...] Todavía es probablemente cierto que para cada constante , hay una constante tal que hay un primo entre y . [9]
Conjeturas y heurísticas relacionadas
Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér, [10] para brechas récord:
JH Cadwell [11] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas: que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks pero sugiere un término de orden inferior.
Marek Wolf [12] ha propuesto la fórmula para las brechas máximasexpresado en términos de la función de conteo prima :
dónde y es el doble de la constante de los primos gemelos ; ver OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Usando la aproximación de Gauss esto da
que para grandes también es asintóticamente equivalente a las conjeturas de Cramér y Shanks: .
Thomas Nicely ha calculado muchas brechas principales importantes. [13] Mide la calidad de ajuste a la conjetura de Cramér midiendo la relación
Escribe: "Para las brechas máximas más grandes conocidas, se ha mantenido cerca de 1,13 ”. Sin emabargo, sigue siendo inferior a 1.
Ver también
- Teorema de los números primos
- La conjetura de Legendre y la conjetura de Andrica , límites superiores mucho más débiles, pero aún no probadas sobre las diferencias principales
- Conjetura de Firoozbakht
- El teorema de Maier sobre el número de primos en intervalos cortos para los que el modelo predice una respuesta incorrecta
Referencias
- ^ a b c Cramér, Harald (1936), "En el orden de magnitud de la diferencia entre números primos consecutivos" (PDF) , Acta Arithmetica , 2 : 23–46, archivado desde el original (PDF) en 2018-07- 23 , consultado el 12 de marzo de 2012
- ^ RC Baker, G. Harman y J. Pintz, La diferencia entre números primos consecutivos. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), núm. 3, 532-562
- ^ Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán), 5 : 1-37, JFM 57.0186.02 , Zbl 0003.24601.
- ^ RA Rankin, La diferencia entre números primos consecutivos, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
- ^ K. Ford, B. Green, S. Konyagin y T. Tao, Grandes brechas entre números primos consecutivos. Ana. de Matemáticas. (2) 183 (2016), núm. 3, 935–974
- ^ Terry Tao , 254A, Suplemento 4: Modelos probabilísticos y heurísticas para los números primos (opcional) , sección sobre el modelo aleatorio de The Cramér, enero de 2015.
- ^ Granville, A. (1995), "Harald Cramér y la distribución de números primos" (PDF) , Scandinavian Actuarial Journal , 1 : 12-28, doi : 10.1080 / 03461238.1995.10413946.
- ^ János Pintz, Brechas muy grandes entre números primos consecutivos, Journal of Number Theory 63 : 2 (abril de 1997), págs. 286-301.
- ^ Leonard Adleman y Kevin McCurley, Problemas abiertos en la complejidad teórica de números, II. Teoría algorítmica de números (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlín, 1994.
- ^ Shanks, Daniel (1964), "On Maximal Gaps between Successive Primes", Mathematics of Computation , American Mathematical Society, 18 (88): 646–651, doi : 10.2307 / 2002951 , JSTOR 2002951 , Zbl 0128.04203.
- ^ Cadwell, JH (1971), "Grandes intervalos entre primos consecutivos", Matemáticas de la computación , 25 (116): 909–913, doi : 10.2307 / 2004355 , JSTOR 2004355
- ^ Wolf, Marek (2014), "Distribución de espaciamiento de vecinos más cercanos de números primos y caos cuántico" , Phys. Rev. E , 89 : 022922, arXiv : 1212.3841 , Bibcode : 2014PhRvE..89b2922W , doi : 10.1103 / physreve.89.022922
- ^ Muy bien, Thomas R. (1999), "Nuevos espacios primos máximos y primeras apariciones" , Mathematics of Computation , 68 (227): 1311-1315, Bibcode : 1999MaCom..68.1311N , doi : 10.1090 / S0025-5718-99- 01065-0 , MR 1.627.813 , archivado desde el original en 12/30/2014 , recuperado 2009-03-21.
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér-Granville" . MathWorld .