el collar de antoine
En matemáticas , el collar de Antoine es una incrustación topológica del conjunto de Cantor en un espacio euclidiano tridimensional, cuyo complemento no está simplemente conectado . También sirve como contraejemplo a la afirmación de que todos los espacios de Cantor son ambientalmente homeomorfos entre sí. Fue descubierta por Louis Antoine ( 1921 ).
El collar de Antoine se construye iterativamente de la siguiente manera: Comience con un toroide sólido A 0 (iteración 0). A continuación, construya un "collar" de toros enlazados más pequeños que se encuentran dentro de A 0 . Este collar es A 1 (iteración 1). Cada toro que compone A 1 puede ser reemplazado por otro collar más pequeño como se hizo para A 0 . Hacer esto produce A 2 (iteración 2).
Este proceso puede repetirse un número infinito contable de veces para crear un A n para todo n . El collar A de Antoine se define como la intersección de todas las iteraciones.
Dado que los toros sólidos se eligen para que se vuelvan arbitrariamente pequeños a medida que aumenta el número de iteraciones, los componentes conectados de A deben ser puntos únicos. Entonces es fácil verificar que A es cerrado , denso en sí mismo y totalmente desconectado , teniendo la cardinalidad del continuo . Esto es suficiente para concluir que, como espacio métrico abstracto, A es homeomorfo al conjunto de Cantor.
Sin embargo, como un subconjunto del espacio euclidiano A no es ambientalmente homeomorfo al conjunto C de Cantor estándar , incrustado en R 3 en un segmento de línea . Es decir, no hay un mapa bicontinuo de R 3 → R 3 que lleve C a A . Para mostrar esto, suponga que existe tal aplicación h : R 3 → R 3 , y considere un lazo k que está entrelazado con el collar. k no se puede contraer continuamente hasta un punto sin tocar Aporque dos bucles no se pueden desvincular continuamente. Ahora considere cualquier bucle j disjunto de C . j puede reducirse a un punto sin tocar C porque simplemente podemos moverlo a través de los intervalos de separación. Sin embargo, el bucle g = h −1 ( k ) es un bucle que no se puede reducir a un punto sin tocar C , lo que contradice la afirmación anterior. Por lo tanto, h no puede existir.
De hecho, no hay homeomorfismo de R 3 que envíe A a un conjunto de dimensión de Hausdorff < 1, ya que el complemento de dicho conjunto debe ser simplemente conexo.
