En topología general , un subconjuntode un espacio topológico se dice que es denso en sí mismo [1] [2] o abarrotado [3] [4] sino tiene un punto aislado . Equivalentemente, es denso en sí mismo si cada punto de es un punto límite de. Por lo tanto es denso en sí mismo si y solo si , dónde es el conjunto derivado de.
Un conjunto cerrado denso en sí mismo se denomina conjunto perfecto . (En otras palabras, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado sin punto aislado).
La noción de conjunto denso no está relacionada con denso en sí mismo . Esto a veces puede resultar confuso, ya que "X es denso en X" (siempre verdadero) no es lo mismo que "X es denso en sí mismo" (sin un punto aislado).
Ejemplos de
Un ejemplo simple de un conjunto que es denso en sí mismo pero no cerrado (y por lo tanto no es un conjunto perfecto) es el subconjunto de números irracionales (considerado como un subconjunto de los números reales ). Este conjunto es denso en sí mismo porque cada vecindario de un número irracional contiene al menos otro número irracional . Por otro lado, el conjunto de los irracionales no está cerrado porque todo número racional está en su cierre . Por razones similares, el conjunto de números racionales (también considerado como un subconjunto de los números reales ) también es denso en sí mismo pero no cerrado.
Los ejemplos anteriores, los irracionales y los racionales, también son conjuntos densos en su espacio topológico, a saber. Como ejemplo que es denso en sí mismo pero no denso en su espacio topológico, considérese. Este conjunto no es denso en pero es denso en sí mismo.
Propiedades
- La unión de cualquier familia de subconjuntos densos en sí de un espacio X es densa en sí misma. [5]
- Cada subconjunto abierto de un espacio denso en sí mismo es denso en sí mismo. [6]
- Cada subconjunto denso de un espacio T 1 denso en sí mismo es denso en sí mismo. [7] Tenga en cuenta que esto requiere que el espacio sea T 1 ; por ejemplo en el espaciocon la topología indiscreta , el conjunto es denso, pero no es denso en sí mismo.
- En un espacio topológico, el cierre de un conjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto. [8]
Ver también
Notas
- ^ Steen y Seebach, p. 6
- ^ Engelking, pág. 25
- ^ http://www.topo.auburn.edu/tp/reprints/v21/tp21008.pdf
- ^ https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scaitated_spaces_II
- ^ Engelking, 1.7.10, p. 59
- ^ Kuratowski, pág. 78
- ^ Kuratowski, pág. 78
- ^ Kuratowski, pág. 77
Referencias
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Kuratowski, K. (1966). Topología Vol. Yo . Prensa académica. ISBN 012429202X.
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 .
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