En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio totalmente desconectado es un espacio topológico que está desconectado al máximo, en el sentido de que no tiene subconjuntos conectados no triviales . En todo espacio topológico, los singletons (y, cuando se considera conectado, el conjunto vacío) están conectados; en un espacio totalmente desconectado, estos son los únicos subconjuntos adecuados conectados.
Un ejemplo importante de un espacio totalmente desconectado es el conjunto Cantor . Otro ejemplo, que juega un papel clave en la teoría algebraica de números , es el campo Q p de p -números ádicos .
Definición
Un espacio topológico está totalmente desconectado si los componentes conectados enson los conjuntos de un punto. Análogamente, un espacio topológicoestá totalmente desconectado de la ruta si todos los componentes de la ruta en son los conjuntos de un punto.
Otra noción estrechamente relacionada es la de un espacio totalmente separado , es decir, un espacio donde los cuasicomponentes son singletons. De manera equivalente, un espacio topológico es un espacio totalmente separado si y solo si para cada , la intersección de todos los barrios cerrados de es el singleton . De manera equivalente, para cada par de puntos distintos, hay un par de barrios abiertos inconexos de tal que .
Cada espacio totalmente separado está evidentemente totalmente desconectado, pero lo contrario es falso incluso para los espacios métricos. Por ejemplo, tomepara ser el tipi de Cantor, que es el abanico de Knaster-Kuratowski sin el ápice. Luegoestá totalmente desconectado pero sus cuasicomponentes no son singletons. Para espacios de Hausdorff localmente compactos, las dos nociones ( totalmente desconectadas y totalmente separadas ) son equivalentes.
Desafortunadamente en la literatura (por ejemplo [1] ), los espacios totalmente desconectados a veces se denominan hereditariamente desconectados, mientras que la terminología totalmente desconectada se utiliza para espacios totalmente separados.
Ejemplos de
Los siguientes son ejemplos de espacios totalmente desconectados:
- Espacios discretos
- Los números racionales
- Los números irracionales
- Los números p-ádicos ; de manera más general, todos los grupos lucrativos están totalmente desconectados.
- El plató Cantor y el espacio Cantor
- El espacio Baire
- La línea Sorgenfrey
- Cada espacio de Hausdorff de pequeña dimensión inductiva 0 está totalmente desconectado
- El espacio Erdős ℓ 2 es un espacio de Hausdorff totalmente desconectado que no tiene una pequeña dimensión inductiva 0.
- Espacios de Hausdorff extremadamente desconectados
- Espacios de piedra
- El ventilador Knaster – Kuratowski proporciona un ejemplo de un espacio conectado, de modo que la eliminación de un solo punto produce un espacio totalmente desconectado.
Propiedades
- Los subespacios , productos y coproductos de espacios totalmente desconectados están totalmente desconectados.
- Espacios totalmente desconectados son T 1 espacios ya que singletons están cerrados.
- Las imágenes continuas de espacios totalmente desconectados no necesariamente están totalmente desconectados, de hecho, cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor .
- Un espacio de Hausdorff localmente compacto tiene una pequeña dimensión inductiva 0 si y solo si está totalmente desconectado.
- Cada espacio métrico compacto totalmente desconectado es homeomorfo a un subconjunto de un producto contable de espacios discretos .
- En general, no es cierto que todos los conjuntos abiertos en un espacio totalmente desconectado también estén cerrados.
- En general, no es cierto que el cierre de cada conjunto abierto en un espacio totalmente desconectado sea abierto, es decir, no todos los espacios de Hausdorff totalmente desconectados están extremadamente desconectados .
Construyendo un espacio totalmente desconectado
Dejar ser un espacio topológico arbitrario. Dejar si y solo si (dónde denota el subconjunto conectado más grande que contiene ). Esta es obviamente una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los componentes conectados de. Dotarcon la topología del cociente , es decir, la topología más fina que hace el mapacontinuo. Con un poco de esfuerzo podemos ver queestá totalmente desconectado. También tenemos la siguiente propiedad universal : si un mapa continuo a un espacio totalmente desconectado , entonces existe un mapa continuo único con .
Ver también
- Espacio extremadamente desconectado
- Grupo totalmente desconectado
Referencias
- ^ Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Serie Sigma en Matemáticas Puras. ISBN 3-88538-006-4.
- Willard, Stephen (2004), topología general , publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350(reimpresión del original de 1970, MR0264581 )