Azulejos aperiódicos
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El mosaico Penrose es un ejemplo de mosaico aperiódico; cada mosaico que puede producir carece de simetría de traslación .

Un suelo de baldosas aperiódica es un no periódica suelo de baldosas con la propiedad adicional de que no contiene arbitrariamente grandes parches periódicos. Un conjunto de tipos de mosaicos (o prototipos ) es aperiódico si las copias de estos mosaicos solo pueden formar mosaicos no periódicos . Los mosaicos de Penrose [1] [2] son los ejemplos más conocidos de mosaicos aperiódicos.

Las teselaciones aperiódicas sirven como modelos matemáticos para los cuasicristales , sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman [3], quien posteriormente ganó el premio Nobel en 2011. [4] Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales aún es poco conocida.

Se conocen varios métodos para construir revestimientos aperiódicos.

Definición e ilustración

Considere un mosaico periódico por unidades cuadradas (parece papel milimetrado infinito ). Ahora corta un cuadrado en dos rectángulos. El mosaico obtenido de esta manera no es periódico: no hay un desplazamiento distinto de cero que deje fijo este mosaico. Pero claramente este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose. Para descartar ejemplos tan aburridos, se define un mosaico aperiódico como uno que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.

Un mosaico se llama aperiódico si su casco contiene solo mosaicos no periódicos. El casco de un suelo de baldosas contiene toda traduce T + x de T , junto con todos los mosaicos que se puede aproximar por traduce de T . Formalmente, este es el cierre del conjunto en la topología local. [5] En la topología local (resp. La métrica correspondiente) dos teselados están cerrados si coinciden en una bola de radio alrededor del origen (posiblemente después de desplazar uno de los teselados en una cantidad menor que ).

Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, considere un mosaico unidimensional T de la línea que se parece a ... aaaaaabaaaaa ... donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos. Así, el suelo de baldosas T se compone de un número infinito de copias de una y otra copia de B (con el centro 0, por ejemplo). Ahora todas las traducciones de T son las teselaciones con una b en alguna parte y una s en otra parte. La secuencia de mosaicos donde b está centrado en converge, en la topología local, al mosaico periódico que consta de solo una s. Por lo tantoT no es un mosaico aperiódico, ya que su casco contiene el mosaico periódico ... aaaaaa ....

Para mosaicos con buen comportamiento (por ejemplo, mosaicos de sustitución con un número finito de patrones locales) se cumple: si un mosaico no es periódico y repetitivo (es decir, cada parche ocurre de una manera uniformemente densa en todo el mosaico), entonces es aperiódico. [5]

Historia

La primera aparición específica de teselaciones aperiódicas surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang trató de determinar si el problema de Domino es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototipos admite un embaldosado del plano. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de mosaicos que no pueden enlosar el plano y los conjuntos de mosaicos que lo mosaico periódicamente; con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si cada conjunto finito de prototipos que admite un mosaico del plano también admite un mosaico periódico. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototipos a partir del cual demostró que el problema del mosaico no es decidible. [6] [7]Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requirió 20.426 fichas de Wang. Berger luego redujo su set a 104, y Hans Läuchli posteriormente encontró un set aperiódico que requería solo 40 fichas Wang. [8] Raphael M. Robinson descubrió un conjunto aún más pequeño de seis fichas aperiódicas (basadas en fichas de Wang) en 1971. [9] Roger Penrose descubrió tres conjuntos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de fichas necesarias a dos, y Robert Ammann descubrió varios conjuntos nuevos en 1977. [8]

Los mosaicos aperiódicos de Penrose se pueden generar no solo mediante un conjunto aperiódico de prototipos, sino también mediante una sustitución y mediante un método de cortar y proyectar . Después del descubrimiento de los cuasicristales, los materiales aperiódicos son estudiados intensamente por físicos y matemáticos. El método de cortar y proyectar de NG de Bruijn para los mosaicos de Penrose finalmente resultó ser un ejemplo de la teoría de los conjuntos de Meyer . [10] [11] Hoy en día existe una gran cantidad de literatura sobre mosaicos aperiódicos. [5]

Construcciones

Se conocen algunas construcciones de mosaicos aperiódicos. Algunas construcciones se basan en familias infinitas de conjuntos aperiódicos de tejas. [12] [13] Las construcciones que se han encontrado se construyen en su mayoría de varias formas, principalmente forzando algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de esto, la indecidibilidad del problema del dominó asegura que debe haber una infinidad de principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de baldosas para los que no puede haber prueba de su aperiodicidad.

Mosaicos jerárquicos aperiódicos

Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un mosaico tiene una estructura jerárquica; sin embargo, está claro que los mosaicos de sustitución los tienen, al igual que los mosaicos de Berger, Knuth , Läuchli y Robinson . Al igual que con el término "mosaico aperiódico" en sí, el término " mosaico jerárquico aperiódico " es una abreviatura conveniente, que significa algo parecido a "un conjunto de mosaicos que admite sólo mosaicos no periódicos con una estructura jerárquica".

Cada uno de estos conjuntos de mosaicos, en cualquier mosaico que admitan, fuerza una estructura jerárquica particular. (En muchos ejemplos posteriores, esta estructura se puede describir como un sistema de mosaico de sustitución; esto se describe a continuación). Ningún mosaico admitido por tal conjunto de mosaicos puede ser periódico, simplemente porque ninguna traducción única puede dejar invariable toda la estructura jerárquica. Considere las baldosas de 1971 de Robinson:

Los azulejos de Robinson

Cualquier mosaico de estos mosaicos solo puede exhibir una jerarquía de celosías cuadradas: cada cuadrado naranja está en la esquina de un cuadrado naranja más grande, ad infinitum. Cualquier traducción debe ser más pequeña que algún tamaño de cuadrado y, por lo tanto, no puede dejar invariable dicho mosaico.

Una porción de mosaico de los mosaicos Robinson

Robinson demuestra que estos mosaicos deben formar esta estructura de manera inductiva; en efecto, los mosaicos deben formar bloques que encajen entre sí como versiones más grandes de los mosaicos originales, y así sucesivamente. Esta idea, de encontrar conjuntos de mosaicos que solo puedan admitir estructuras jerárquicas, se ha utilizado en la construcción de los conjuntos aperiódicos de mosaicos más conocidos hasta la fecha.

Sustituciones

Artículos principales: Azulejos de sustitución y sistema L

Los sistemas de azulejos de sustitución proporcionan una rica fuente de revestimientos aperiódicos. Se dice que un conjunto de mosaicos que fuerza a emerger una estructura de sustitución refuerza la estructura de sustitución. Por ejemplo, los mosaicos de sillas que se muestran a continuación admiten una sustitución, y una parte de un mosaico de sustitución se muestra a la derecha a continuación. Estos mosaicos de sustitución son necesariamente no periódicos, exactamente de la misma manera que se describió anteriormente, pero el mosaico de la silla en sí no es aperiódico; es fácil encontrar mosaicos periódicos con mosaicos de silla sin marcar.

El sistema de alicatado de sustitución de silla.

Sin embargo, los mosaicos que se muestran a continuación fuerzan a emerger la estructura de sustitución de la silla, por lo que son aperiódicos en sí mismos. [14]

Los mosaicos Trilobite y Cross refuerzan la estructura de sustitución de la silla; solo pueden admitir mosaicos en los que se puede discernir la sustitución de la silla y, por lo tanto, son aperiódicos.

Los mosaicos de Penrose, y poco después los diferentes conjuntos de mosaicos de Amman, [15] fueron el primer ejemplo basado en forzar explícitamente la aparición de una estructura de mosaico de sustitución. Joshua Socolar , [16] [17] Roger Penrose , [18] Ludwig Danzer , [19] y Chaim Goodman-Strauss [14] han encontrado varios conjuntos posteriores. Shahar Mozes dio la primera construcción general, mostrando que todos los productos de los sistemas de sustitución unidimensionales se pueden hacer cumplir mediante reglas de coincidencia. [13] Charles Radin encontró reglas que imponen el sistema de mosaico de sustitución Conway-molinillo .[20] En 1998, Goodman-Strauss demostró que se pueden encontrar reglas de emparejamiento locales para forzar cualquier estructura de mosaico de sustitución, sujeto a algunas condiciones leves. [12]

Método de cortar y proyectar

Los mosaicos no periódicos también se pueden obtener mediante la proyección de estructuras de mayor dimensión en espacios con menor dimensionalidad y, en algunas circunstancias, puede haber mosaicos que refuercen esta estructura no periódica y, por lo tanto, sean aperiódicos. Las baldosas de Penrose son el primer y más famoso ejemplo de esto, como se señaló por primera vez en el trabajo pionero de de Bruijn . [21] Aún no existe una caracterización completa (algebraica) de los mosaicos de corte y proyecto que se pueda hacer cumplir mediante reglas de emparejamiento, aunque se conocen numerosas condiciones necesarias o suficientes. [22]

Algunas teselaciones obtenidas por el método de corte y proyección. Los planos de corte son todos paralelos al que define los mosaicos de Penrose (el cuarto mosaico de la tercera línea). Todos estos mosaicos pertenecen a diferentes clases de isomorfismos locales, es decir, se pueden distinguir localmente.

Otras tecnicas

Solo se han encontrado algunos tipos diferentes de construcciones. En particular, Jarkko Kari dio un conjunto aperiódico de mosaicos Wang basado en multiplicaciones por 2 o 2/3 de números reales codificados por líneas de mosaicos (la codificación está relacionada con secuencias Sturmian hechas como las diferencias de elementos consecutivos de secuencias Beatty ), con la aperiodicidad que se basa principalmente en el hecho de que 2 n / 3 m nunca es igual a 1 para ningún número entero positivo nym. [23] Este método fue posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para dar un conjunto de mosaicos fuertemente aperiódicos en el plano hiperbólico. [24] Shahar Mozesha encontrado muchas construcciones alternativas de conjuntos aperiódicos de azulejos, algunos en entornos más exóticos; por ejemplo, en grupos de Lie semi-simples . [25] Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de mosaicos para todas las variedades no tratables . [26] Joshua Socolar también dio otra forma de imponer la aperiodicidad, en términos de condición alterna . [27] Esto generalmente conduce a conjuntos de mosaicos mucho más pequeños que el derivado de las sustituciones.

Física

Artículo principal: Cuasicristal

Los mosaicos aperiódicos se consideraron artefactos matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de una fase de una aleación de aluminio-manganeso que producía un difractograma nítido con una simetría quíntuple inequívoca [3] , por lo que tenía que ser una sustancia cristalina con icosaédrica simetría. En 1975 Robert Ammannya había extendido la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En tales casos, se considera que el término "mosaico" significa "llenar el espacio". Los dispositivos fotónicos se construyen actualmente como secuencias aperiódicas de diferentes capas, siendo así aperiódicas en una dirección y periódicas en las otras dos. Las estructuras cuasicristalinas de Cd-Te parecen consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en un patrón aperiódico plano. A veces ocurre un mínimo energético o un máximo de entropía para tales estructuras aperiódicas. Steinhardt ha demostrado que los decagones superpuestos de Gummelt permiten la aplicación de un principio extremo y, por lo tanto, proporcionan el vínculo entre las matemáticas de los mosaicos aperiódicos y la estructura de los cuasicristales. [28] Olas de FaradaySe ha observado que forman grandes parches de patrones aperiódicos. [29] La física de este descubrimiento ha revivido el interés en estructuras y frecuencias inconmensurables que sugieren vincular teselaciones aperiódicas con fenómenos de interferencia . [30]

Confusión con respecto a la terminología

El término aperiódico se ha utilizado en una amplia variedad de formas en la literatura matemática sobre teselaciones (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes). Con respecto a las teselaciones, el término aperiódico se usó a veces como sinónimo del término no periódico. Un mosaico no periódico es simplemente uno que no está fijado por ninguna traducción no trivial. A veces, el término describe, implícita o explícitamente, un mosaico generado por un conjunto aperiódico de prototipos. Con frecuencia, el término aperiódico se usó vagamente para describir las estructuras en consideración, refiriéndose a sólidos físicos aperiódicos, a saber, cuasicristales, o algo no periódico con algún tipo de orden global.

El uso de la palabra "mosaico" también es problemático, a pesar de su sencilla definición. No hay un solo mosaico de Penrose , por ejemplo: los rombos de Penrose admiten infinitos mosaicos (que no se pueden distinguir localmente). Una solución común es tratar de usar los términos con cuidado en la redacción técnica, pero reconociendo el uso generalizado de los términos informales.

Ver también

  • Azulejos girih
  • Lista de conjuntos aperiódicos de azulejos
  • Cuasicristal
  • Zellige

Referencias

  1. ^ Gardner, Martin (enero de 1977). "Juegos matemáticos". Scientific American . 236 (1): 111-119. Código Bibliográfico : 1977SciAm.236a.110G . doi : 10.1038 / scientificamerican0177-110 .
  2. ^ Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers . WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
  3. ↑ a b Schechtman, D .; Blech, I .; Gratias, D .; Cahn, JW (1984). "Fase metálica con orden de orientación de largo alcance y sin simetría de traslación" . Cartas de revisión física . 53 (20): 1951-1953. Código Bibliográfico : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.53.1951 .
  4. ^ "El Premio Nobel de Química 2011" . Nobelprize.org . Consultado el 6 de octubre de 2011 .
  5. ^ a b c Baake, M .; Grimm, Uwe (2013). Orden aperiódica. Vol 1: Una invitación matemática . Prensa de la Universidad de Cambridge.
  6. ^ Robert Berger en el Proyecto de genealogía de las matemáticas .
  7. ^ Berger, Robert (1966). "La indecidibilidad del problema del dominó". Memorias de la American Mathematical Society (66): 1-72.
  8. ↑ a b Grünbaum y Shephard, sección 11.1.
  9. ^ Robinson, Raphael M. (1971). "Indecidibilidad y no periodicidad de los mosaicos del plano" . Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177-209. Código Bibliográfico : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007 / BF01418780 . S2CID 14259496 . 
  10. ^ Lagarias, JC (1996). "El concepto de Meyer de conjuntos cuasicristal y cuasirregular" . Comun. Matemáticas. Phys . 179 (2): 356–376. Código Bibliográfico : 1996CMaPh.179..365L . doi : 10.1007 / BF02102593 . S2CID 122753893 . 
  11. ^ Moody, RV (1997). "Meyer sets y sus duales". Las matemáticas de orden aperiódico de largo alcance . Las matemáticas de orden aperiódico de largo alcance, serie C de la OTAN ASI . págs. 403–441. doi : 10.1007 / 978-94-015-8784-6_16 . ISBN 978-90-481-4832-5.
  12. ↑ a b Goodman-Strauss, Chaim (1998). "Emparejar reglas y revestimientos de sustitución" . Annals of Mathematics . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . doi : 10.2307 / 120988 . JSTOR 120988 .  
  13. ↑ a b Mozes, S. (1989). "Tilings, sistemas de sustitución y sistemas dinámicos generados por ellos". Journal d'Analyse Mathématique . 53 (1): 139–186. doi : 10.1007 / BF02793412 . S2CID 121775031 . 
  14. ↑ a b Goodman-Strauss, Chaim (1999). "Un pequeño conjunto aperiódico de baldosas planas" . Revista europea de combinatoria . 20 (5): 375–384. doi : 10.1006 / eujc.1998.0281 .
  15. ^ Grünbaum, Branko ; Geoffrey C. Shephard (1986). Azulejos y Patrones . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
  16. ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Cuasicristales y geometría (edición en rústica corregida). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-57541-6.
  17. ^ Socolar, JES (1989). "Cuasicristales octogonales y dodecagonales simples". Phys. Rev. B . 39 (15): 10519–51. Código Bibliográfico : 1989PhRvB..3910519S . doi : 10.1103 / PhysRevB.39.10519 . PMID 9947860 . 
  18. ^ Penrose, R. (1997). "Observaciones sobre mosaico: detalles de un 1 +  ε  +  ε 2 -conjunto periódico". La Orden Periódica de Matemáticas de Largo Alcance, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Matemáticas. Phys. Sci . 489 : 467–497.
  19. ^ Nischke, K.-P .; Danzer, L. (1996). "Una construcción de reglas de inflación basada en n- simetría" . Geometría discreta y computacional . 15 (2): 221-236. doi : 10.1007 / BF02717732 .
  20. ^ Radin, Charles (1994). "Los mosaicos de molinete del avión". Annals of Mathematics . 139 (3): 661–702. doi : 10.2307 / 2118575 . JSTOR 2118575 . 
  21. ↑ NG de Bruijn, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Matemáticas. 43 , 39-52, 53-66 (1981). Teoría algebraica de las teselaciones no periódicas del plano de Penrose , I, II
  22. ^ Véase, por ejemplo, la encuesta de TTQ Le en Le, TTQ (1997). "Reglas locales para teselaciones cuasiperiódicas". Las matemáticas de orden aperiódico de largo alcance . La Orden Periódica de Matemáticas de Largo Alcance, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Matemáticas. Phys. Sci . 489 . págs. 331–366. doi : 10.1007 / 978-94-015-8784-6_13 . ISBN 978-90-481-4832-5.
  23. ^ Kari, Jarkko (1996). "Un pequeño juego aperiódico de baldosas Wang" . Matemáticas discretas . 160 (1-3): 259-264. doi : 10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L .
  24. ^ Goodman-Strauss, Chaim (2005). "Un conjunto de mosaicos fuertemente aperiódicos en el plano hiperbólico" . Inventiones Mathematicae . 159 (1): 119-132. Código Bibliográfico : 2004InMat.159..119G . CiteSeerX 10.1.1.477.1974 . doi : 10.1007 / s00222-004-0384-1 . S2CID 5348203 .  
  25. ^ Mozes, Shahar (1997). "Azulejos aperiódicos" . Inventiones Mathematicae . 128 (3): 603–611. Código bibliográfico : 1997InMat.128..603M . doi : 10.1007 / s002220050153 . S2CID 189819776 . 
  26. ^ Bloque, J .; Weinberger, S. (1992). "Mosaicos aperiódicos, curvatura escalar positiva y amabilidad de los espacios" . Revista de la AMS . 5 (4): 907–918. doi : 10.1090 / s0894-0347-1992-1145337-x .
  27. ^ Socolar, Joshua (1990). "Reglas de coincidencia débiles para cuasicristales". Comm. Matemáticas. Phys . 129 (3): 599–619. Código bibliográfico : 1990CMaPh.129..599S . doi : 10.1007 / BF02097107 . S2CID 123629334 . 
  28. ^ Steinhardt, Paul J. "Un nuevo paradigma para la estructura de los cuasicristales" . Archivado desde el original el 23 de febrero de 2007 . Consultado el 26 de marzo de 2007 .
  29. ^ Edwards, W .; Fauve, S. (1993). "Ondas superficiales cuasicristalinas excitadas paramétricamente". Revisión E física . 47 (2): R788 – R791. Código Bibliográfico : 1993PhRvE..47..788E . doi : 10.1103 / PhysRevE.47.R788 . PMID 9960162 . 
  30. ^ Levy, JC. S.; Mercier, D. (2006). "Cuasicristales estables". Acta Phys. Superficierum . 8 : 115.

enlaces externos

  • El depósito de chatarra de geometría
  • Azulejos aperiódicos
  • El patrón infinito que nunca se repite
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