Un conjunto de prototipos es aperiódico si se pueden ensamblar copias de los prototipos para crear mosaicos , de modo que todos los posibles patrones de teselación no sean periódicos . La aperiodicidad a la que se hace referencia es una propiedad del conjunto particular de prototipos; las diversas teselaciones resultantes en sí mismas son simplemente no periódicas.
Un conjunto de mosaicos dado, en el plano euclidiano o en algún otro entorno geométrico, admite un mosaico si se pueden unir copias no superpuestas de los mosaicos del conjunto para cubrir todo el espacio. Un conjunto dado de mosaicos puede admitir mosaicos periódicos, es decir, mosaicos que permanecen invariables después de ser desplazados por una traslación (por ejemplo, una celosía de mosaicos cuadrados es periódica). No es difícil diseñar un conjunto de mosaicos que admita mosaicos no periódicos, así como mosaicos periódicos (por ejemplo, los mosaicos dispuestos al azar usando un cuadrado de 2 × 2 y un rectángulo de 2 × 1 normalmente no serán periódicos).
Sin embargo, un conjunto aperiódico de mosaicos solo puede producir mosaicos no periódicos. [1] [2] Se pueden obtener infinitas teselaciones distintas a partir de un solo conjunto aperiódico de baldosas. [3]
Los ejemplos más conocidos de un conjunto aperiódico de baldosas son las diversas baldosas de Penrose . [4] [5] Los conjuntos aperiódicos de prototipos conocidos se ven en la lista de conjuntos aperiódicos de mosaicos . La indecidibilidad subyacente del problema del dominó implica que no existe un procedimiento sistemático para decidir si un conjunto dado de mosaicos puede enlosar el plano.
Historia
Los polígonos son figuras planas limitadas por segmentos de línea recta . Los polígonos regulares tienen todos los lados de igual longitud , así como todos los ángulos de igual medida . Ya en el año 325 d.C., Pappus de Alejandría sabía que solo 3 tipos de polígonos regulares (el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono) pueden encajar perfectamente en mosaicos repetidos en un plano euclidiano . Dentro de ese plano, todos los triángulos, independientemente de la regularidad, se teselarán. Por el contrario, los pentágonos regulares no se teselan. Sin embargo, los pentágonos irregulares, con diferentes lados y ángulos, se pueden teselar. Hay 15 pentágonos convexos irregulares que embaldosan el plano. [6]
Los poliedros son los correlatos tridimensionales de polígonos. Se construyen a partir de caras planas y bordes rectos y tienen esquinas pronunciadas en los vértices . Aunque un cubo es el único poliedro regular que admite la teselación, muchas formas tridimensionales no regulares pueden teselar, como el octaedro truncado .
La segunda parte del decimoctavo problema de Hilbert pedía un único poliedro con mosaicos euclidianos de 3 espacios , de modo que ningún mosaico junto a él sea isoédrico (un mosaico anisoédrico ). Karl Reinhardt resolvió el problema en 1928, pero los conjuntos de mosaicos aperiódicos se han considerado una extensión natural. [7] La cuestión específica de los conjuntos aperiódicos de mosaicos surgió por primera vez en 1961, cuando el lógico Hao Wang intentó determinar si el problema de Domino es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototiles admite un mosaico. del avión. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de mosaicos que no pueden enlosar el plano y los conjuntos de mosaicos que lo mosaico periódicamente; con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si cada conjunto finito de prototipos que admite un mosaico del plano también admite un mosaico periódico.
Por lo tanto, cuando en 1966 Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototipos, esto demostró que el problema del mosaico no es decidible. [8] (Por lo tanto, los procedimientos de Wang no funcionan en todos los conjuntos de fichas, aunque eso no los vuelve inútiles para propósitos prácticos). Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requirió 20.426 fichas de Wang. Berger luego redujo su set a 104, y Hans Läuchli posteriormente encontró un set aperiódico que requería solo 40 fichas Wang. [9] El conjunto de 13 mosaicos que se muestra en la ilustración de la derecha es un conjunto aperiódico publicado por Karel Culik , II, en 1996.
Sin embargo, Raphael M. Robinson descubrió un conjunto aperiódico más pequeño, de seis fichas que no eran de Wang, en 1971. [10] Roger Penrose descubrió tres conjuntos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de fichas necesarias a dos, y Robert Ammann descubrió varios conjuntos nuevos en 1977. La cuestión de si un conjunto aperiódico existe con un solo prototipo se conoce como el problema de Einstein .
Construcciones
Se conocen pocas construcciones de mosaicos aperiódicos, incluso cuarenta años después de la innovadora construcción de Berger. Algunas construcciones son de familias infinitas de conjuntos aperiódicos de tejas. [11] [12] Las construcciones que se han encontrado se construyen en su mayoría de varias formas, principalmente forzando algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de esto, la indecidibilidad del problema del dominó asegura que debe haber una infinidad de principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de baldosas para los que no puede haber prueba de su aperiodicidad.
Vale la pena señalar que no puede haber un conjunto aperiódico de mosaicos en una dimensión: es un ejercicio simple para mostrar que cualquier conjunto de mosaicos en la línea no puede usarse para formar un mosaico completo, o puede usarse para formar un mosaico periódico. embaldosado. La periodicidad de los prototipos requiere dos o más dimensiones.
Referencias
- ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Cuasicristales y geometría (edición en rústica corregida). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-57541-6.
- ^ Grünbaum, Branko ; Geoffrey C. Shephard (1986). Azulejos y Patrones . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
- ^ Un conjunto de prototipos aperiódicos siempre puede formar innumerables teselaciones diferentes, incluso hasta la isometría, como lo demuestra Nikolaï Dolbilin en su artículo de 1995 The Countability of a Tiling Family and the Periodicity of a Tiling
- ^ Gardner, Martin (enero de 1977). "Juegos matemáticos". Scientific American . 236 : 111-119.
- ^ Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers . WH Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
- ^ https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/
- ^ Senechal, págs. 22-24.
- ^ Berger, Robert (1966). "La indecidibilidad del problema del dominó". Memorias de la American Mathematical Society (66): 1-72.
- ^ Grünbaum y Shephard, sección 11.1.
- ^ Robinson, Raphael M. (1971). "Indecidibilidad y no periodicidad de los mosaicos del plano". Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177-209. Código Bibliográfico : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007 / BF01418780 .
- ^ Goodman-Strauss, Chaim (1998). "Emparejar reglas y revestimientos de sustitución" . Annals of Mathematics . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . doi : 10.2307 / 120988 . JSTOR 120988 .
- ^ Mozes, S. (1989). "Tilings, sistemas de sustitución y sistemas dinámicos generados por ellos". Journal d'Analyse Mathématique . 53 (1): 139–186. doi : 10.1007 / BF02793412 .