En matemáticas , el teorema de Appell-Humbert describe los haces de líneas en un toro complejo o una variedad abeliana compleja . Fue probado para toros bidimensionales por Appell ( 1891 ) y Humbert ( 1893 ), y en general por Lefschetz ( 1921 ).
Declaración
Supongamos que T es un complejo torus dada por V / T donde T es un enrejado en un espacio vectorial complejo V . Si H es una forma hermitiana en V cuya parte imaginaria E es integral en U × U , y α es un mapa de U al círculo unitario tal que
luego
es un 1- cociclo de U que define una línea paquete en T . Explícitamente, un paquete de líneas en T = V / U puede construirse descendiendo de un paquete de líneas en V (que es necesariamente trivial) y un dato de descenso , es decir, una colección compatible de isomorfismos., Uno para cada u ∈ U . Tales isomorfismos pueden presentarse como funciones holomórficas que no desaparecen en V , y para cada u la expresión anterior es una función holomórfica correspondiente.
El teorema de Appell-Humbert ( Mumford 2008 ) dice que cada paquete de líneas en T puede construirse así para una elección única de H y α que satisfaga las condiciones anteriores.
Paquetes de línea amplia
Lefschetz demostró que el haz de líneas L , asociado a la forma hermitiana H es amplio si y solo si H es positivo definido, y en este caso L 3 es muy amplio. Una consecuencia es que el complejo toro es algebraica si y sólo si existe una forma hermitiana definida positiva cuya parte imaginaria es integral en U × U .
Ver también
- Toro complejo para un tratamiento del teorema con ejemplos
Referencias
- Appell, P. (1891), "Sur les functiones périodiques de deux variables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 7 : 157–219
- Humbert, G. (1893), "Théorie générale des surface hyperelliptiques" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 9 : 29-170, 361-475
- Lefschetz, Solomon (1921), "On Certain Numerical Invariants of Algebraic Varieties with Application to Abelian Varieties", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (3): 327–406, doi : 10.2307 / 1988897 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988897
- Lefschetz, Solomon (1921), "On Certain Numerical Invariants of Algebraic Varieties with Application to Abelian Varieties", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (4): 407–482, doi : 10.2307 / 1988964 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988964
- Mumford, David (2008) [1970], Variedades abelianas , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9, MR 0282985 , OCLC 138290