En matemáticas , un toro complejo es un tipo particular de variedad compleja M cuya variedad suave subyacente es un toro en el sentido habitual (es decir, el producto cartesiano de algunos círculos de número N ). Aquí N debe ser el número par 2 n , donde n es la dimensión compleja de M .
Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tome una red Λ en C n considerada como espacio vectorial real; luego el grupo del cociente
- C n / Λ
es un colector complejo compacto . Todos los toros complejos, hasta el isomorfismo, se obtienen de esta forma. Para n = 1, esta es la construcción de celosía de período clásico de curvas elípticas . Para n > 1, Bernhard Riemann encontró las condiciones necesarias y suficientes para que un toro complejo sea una variedad algebraica ; las que son variedades pueden integrarse en un espacio proyectivo complejo , y son las variedades abelianas .
Las incrustaciones proyectivas reales son complicadas (ver ecuaciones que definen variedades abelianas ) cuando n > 1, y son realmente coextensivas con la teoría de funciones theta de varias variables complejas (con módulo fijo). No hay nada tan simple como la descripción de la curva cúbica para n = 1. El álgebra computacional puede manejar casos para n pequeña razonablemente bien. Según el teorema de Chow , ningún toro complejo que no sean las variedades abelianas puede "encajar" en el espacio proyectivo .