En geometría , los cuatrillizos de Arquímedes son cuatro círculos congruentes asociados con un arbelos . Introducidos por Frank Power en el verano de 1998, cada uno tiene la misma área que los círculos gemelos de Arquímedes , lo que los convierte en círculos de Arquímedes . [1] [2] [3]
Construcción
Un arbelos está formado por tres puntos colineales A , B y C , por los tres semicírculos con diámetros AB , AC y BC . Supongamos que los dos círculos más pequeños tienen radios r 1 y r 2 , de lo cual se sigue que el semicírculo más grande tiene un radio r = r 1 + r 2 . Sean los puntos D y E el centro y el punto medio , respectivamente, del semicírculo de radio r 1 . Sea H el punto medio de la línea AC . Luego, dos de los cuatro círculos cuádruples son tangentes a la línea HE en el punto E , y también son tangentes al semicírculo exterior. Los otros dos círculos cuatrillizos se forman de forma simétrica a partir del semicírculo de radio r 2 .
Prueba de congruencia
De acuerdo con la Propuesta 5 de Arquímedes ' Libro de Lemmas , el común radio de Arquímedes círculos gemelos es:
Por el teorema de Pitágoras :
Luego, crea dos círculos con centros J i perpendiculares a HE , tangentes al semicírculo grande en el punto L i , tangente al punto E y con radios iguales x . Usando el teorema de Pitágoras :
También:
La combinación de estos da:
Ampliando, acumulando a un lado y factorizando:
Resolviendo para x :
Demostrando que cada una de las áreas de los 'cuatrillizos' de Arquímedes es igual a cada una de las áreas de los 'círculos gemelos' de Arquímedes. [4]
Referencias
- ^ Energía, Frank (2005), "Algunos círculos Más de Arquímedes en el Arbelos", en Yiu, Paul (ed.), Foro Geometricorum , 5 (publicado 2005-11-02), pp. 133-134, ISSN 1534-1178 , consultado el 13 de abril de 2008
- ^ Catálogo en línea de círculos de Arquímedes
- ^ Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu (1999). "Esos círculos ubicuos de Arquímedes". PDF .
- ^ Bogomolny, Alexander . "Cuatrillizos de Arquímedes" . Archivado desde el original el 12 de mayo de 2008 . Consultado el 13 de abril de 2008 .
Más lecturas
- Arbelos: Libro de Lemas, Cadena de Pappus, Círculo de Arquímedes, Cuatrillizos de Arquímedes, Círculos gemelos de Arquímedes, Círculo de Bankoff, S. ISBN 1156885493