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La primera página del Libro de los Lemas como se ve en Las obras de Arquímedes (1897).

El Libro de los Lemas es un libro atribuido a Arquímedes por Thābit ibn Qurra , aunque la autoría del libro es cuestionable. Consiste en quince proposiciones ( lemas ) en círculos . [1]

Historia [ editar ]

Traducciones [ editar ]

El Libro de los Lemas fue introducido por primera vez en árabe por Thābit ibn Qurra; atribuyó la obra a Arquímedes. En 1661, el manuscrito árabe fue traducido al latín por Abraham Ecchellensis y editado por Giovanni A. Borelli . La versión latina se publicó con el nombre de Liber Assumptorum . [2] TL Heath tradujo la obra latina de Heiburg al inglés en sus Obras de Arquímedes . [3] [4]

Autoría [ editar ]

Véase también: Pseudo-Archimedes

La autoría original del Libro de Lemas ha sido cuestionada porque en la proposición cuatro, el libro se refiere a Arquímedes en tercera persona ; sin embargo, se ha sugerido que el traductor podría haberlo agregado. [5] Otra posibilidad es que el Libro de los Lemas sea ​​una colección de proposiciones de Arquímedes recopiladas más tarde por un escritor griego. [1]

Nuevas figuras geométricas [ editar ]

El Libro de Lemas presenta varias figuras geométricas nuevas .

Arbelos [ editar ]

Artículo principal: Arbelos
El arbelos es la región sombreada (gris).

Arquímedes introdujo por primera vez a los arbelos en la proposición cuatro de su libro:

Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto de AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN, BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος" ; y su área es igual al círculo en PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P. [1]

La figura se usa en las proposiciones cuatro a ocho. En la proposición cinco, Arquímedes introduce los círculos gemelos de Arquímedes , y en la proposición ocho, hace uso de lo que sería la cadena de Pappus , introducida formalmente por Pappus de Alejandría .

Salinon [ editar ]

Artículo principal: Salinon
El salinon es la región sombreada en azul.

Arquímedes introdujo por primera vez el salinon en la proposición catorce de su libro:

Sea ACB un semicírculo en AB como diámetro, y sean AD, BE longitudes iguales medidas a lo largo de AB desde A, B respectivamente. En AD, BE como diámetros describe semicírculos en el lado hacia C, y en DE como diámetro un semicírculo en el lado opuesto. Deje que la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, se encuentre con los semicírculos opuestos en C, F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo en CF como diámetro. [1]

Arquímedes demostró que el salinón y el círculo son iguales en área.

Proposiciones [ editar ]

  1. Si dos círculos se tocan en A, y si CD, EF son diámetros paralelos en ellos, ADF es una línea recta.
  2. Sea AB el diámetro de un semicírculo, y las tangentes a él en B y en cualquier otro punto D en él se encuentran en T. Si ahora DE se dibuja perpendicular a AB, y si AT, DE se encuentran en F, entonces DF = FE.
  3. Sea P cualquier punto de un segmento de un círculo cuya base es AB y sea PN perpendicular a AB. Tome D en AB de modo que AN = ND. Si ahora PQ es un arco igual al arco PA y BQ está unido, entonces BQ, BD serán iguales.
  4. Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto de AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN, BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος" ; y su área es igual al círculo en PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.
  5. Sea AB el diámetro de un semicírculo, C cualquier punto de AB y CD perpendicular a él, y que los semicírculos se describan dentro del primer semicírculo y tengan AC, CB como diámetros. Entonces, si se dibujan dos círculos tocando CD en lados diferentes y cada uno tocando dos de los semicírculos, los círculos así dibujados serán iguales.
  6. Sea AB, el diámetro de un semicírculo, dividido en C de modo que AC = 3/2 × CB [o en cualquier proporción]. Describa los semicírculos dentro del primer semicírculo y en AC, CB como diámetros, y suponga un círculo dibujado tocando los tres semicírculos. Si GH es el diámetro de este círculo, encontrar la relación entre GH y AB.
  7. Si los círculos están circunscritos e inscritos en un cuadrado, el círculo circunscrito es el doble del cuadrado inscrito.
  8. Si AB es cualquier cuerda de un círculo cuyo centro es O, y si AB se produce a C de modo que BC es igual al radio; si más CO se encuentra con el círculo en D y se produce para que se encuentre con el círculo por segunda vez en E, el arco AE será igual a tres veces el arco BD.
  9. Si en un círculo dos cuerdas AB, CD que no pasan por el centro se cruzan en ángulo recto, entonces (arco AD) + (arco CB) = (arco AC) + (arco DB).
  10. Suponga que TA, TB son dos tangentes a un círculo, mientras que TC lo corta. Sea BD el acorde a través de B paralelo a TC, y deje que AD se encuentre con TC en E. Entonces, si EH se dibuja perpendicular a BD, lo bisecará en H.
  11. Si dos cuerdas AB, CD en un círculo se cruzan en ángulo recto en un punto O, que no es el centro, entonces AO 2 + BO 2 + CO 2 + DO 2 = (diámetro) 2 .
  12. Si AB es el diámetro de un semicírculo, y TP, TQ las tangentes a él desde cualquier punto T, y si AQ, BP se juntan en R, entonces TR es perpendicular a AB.
  13. Si un diámetro AB de un círculo se encuentra con cualquier cuerda CD, no con un diámetro, en E, y si AM, BN se dibuja perpendicular a CD, entonces CN = DM.
  14. Sea ACB un semicírculo en AB como diámetro, y sean AD, BE longitudes iguales medidas a lo largo de AB desde A, B respectivamente. En AD, BE como diámetros describe semicírculos en el lado hacia C, y en DE como diámetro un semicírculo en el lado opuesto. Deje que la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, se encuentre con los semicírculos opuestos en C, F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo en CF como diámetro.
  15. Sea AB el diámetro de un círculo, AC un lado de un pentágono regular inscrito, D el punto medio del arco AC. Únase al CD y produzcalo para conocer BA producido en E; unirse a AC, reunión de DB en F y dibujar FM perpendicular a AB. Entonces EM = (radio del círculo). [1]

Referencias [ editar ]

  1. ^ Un b c d e Heath, Thomas Little (1897), Los trabajos de Arquímedes , la Universidad de Cambridge:. University Press, pp  XXXII , 301-318 , recuperada 2008-06-15 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
  2. ^ "De Euclides a Newton" . Universidad de Brown . Archivado desde el original el 24 de febrero de 2008 . Consultado el 24 de junio de 2008 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
  3. ^ Aaboe, Asger (1997), Episodios de la historia temprana de las matemáticas , Washington, DC: Matemáticas. Assoc. of America, págs.77, 85, ISBN 0-88385-613-1, consultado el 19 de junio de 2008 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
  4. ^ Glick, Thomas F .; Livesey, Steven John; Wallis, Faith (2005), Ciencia, tecnología y medicina medievales: una enciclopedia , Nueva York: Routledge , p. 41, ISBN 0-415-96930-1, consultado el 19 de junio de 2008 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
  5. ^ Bogomolny, A. "Libro de Lemas de Arquímedes" . Corta el nudo . Consultado el 19 de junio de 2008 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )