El problema del ganado de Arquímedes (o el problema bovinum o el problema Archimedis ) es un problema en el análisis diofántico , el estudio de ecuaciones polinómicas con soluciones enteras . Atribuido a Arquímedes , el problema implica calcular la cantidad de ganado en una manada del dios sol a partir de un conjunto dado de restricciones. El problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que contiene un poema de cuarenta y cuatro líneas, en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania en 1773. [1]
El problema permaneció sin resolver durante varios años, debido en parte a la dificultad de calcular los enormes números involucrados en la solución. La solución general fue encontrada en 1880 por Carl Ernst August Amthor (1845-1916), director del Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Gimnasio de la Santa Cruz) en Dresde, Alemania. [2] [3] [4] Usando tablas logarítmicas , calculó los primeros dígitos de la solución más pequeña, mostrando que se trata deganado, mucho más de lo que podría caber en el universo observable . [5] La forma decimal es demasiado larga para que los humanos la calculen exactamente, pero múltiples paquetes aritméticos de precisión en computadoras pueden escribirla explícitamente.
Historia
En 1769, Gotthold Ephraim Lessing fue nombrado bibliotecario de la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania, que contenía muchos manuscritos griegos y latinos. [6] Unos años más tarde, Lessing publicó traducciones de algunos de los manuscritos con comentarios. Entre ellos se encontraba un poema griego de cuarenta y cuatro líneas, que contiene un problema aritmético que pide al lector que encuentre el número de ganado en la manada del dios del sol . Ahora generalmente se le atribuye a Arquímedes. [7] [8]
Problema
El problema, de un resumen de las traducciones alemanas publicadas por Georg Nesselmann en 1842, y por Krumbiegel en 1880, dice:
Calcula, oh amigo, el número de ganado del sol que una vez pastaba en las llanuras de Sicilia, dividido según el color en cuatro manadas, una blanca como la leche, una negra, una moteada y una amarilla. El número de toros es mayor que el número de vacas, y las relaciones entre ellos son las siguientes:
- Toros blancos toros negros + toros amarillos,
- Toros negros toros moteados + toros amarillos,
- Toros moteados toros blancos + toros amarillos,
- Vacas blancas manada negra,
- Vacas negras manada moteada,
- Vacas moteadas manada amarilla,
- Vacas amarillas manada blanca.
Si puedes dar, oh amigo, el número de cada tipo de toros y vacas, no eres un novato en número, pero no se puede considerar como de gran habilidad. Considere, sin embargo, las siguientes relaciones adicionales entre los toros del sol:
- Toros blancos + toros negros = un número cuadrado ,
- Toros moteados + toros amarillos = un número triangular .
Si también has calculado estos, oh amigo, y has encontrado el número total de ganado, entonces regocíjate como un conquistador, porque has demostrado que eres el más hábil en números. [9]
Solución
La primera parte del problema se puede resolver fácilmente estableciendo un sistema de ecuaciones . Si el número de toros blancos, negros, moteados y amarillos se escribe como y , y el número de vacas blancas, negras, moteadas y amarillas se escribe como y , el problema es simplemente encontrar una solución a:
que es un sistema de siete ecuaciones con ocho incógnitas. Es indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los números enteros menos positivos que satisfacen las siete ecuaciones son:
que es un total de 50,389,082 bovinos [9] y las otras soluciones son múltiplos integrales de estos. Tenga en cuenta que los primeros cuatro números son múltiplos de 4657, un valor que aparecerá repetidamente a continuación.
La solución general a la segunda parte del problema fue encontrada por primera vez por A. Amthor [10] en 1880. La siguiente versión fue descrita por HW Lenstra , [5] basada en la ecuación de Pell : la solución dada anteriormente para la primera parte del problema debe multiplicarse por
dónde
y j es cualquier número entero positivo. De manera equivalente, elevar al cuadrado w da como resultado,
donde { u , v } son las soluciones fundamentales de la ecuación de Pell
El tamaño del rebaño más pequeño que podría satisfacer tanto la primera como la segunda parte del problema viene dado por j = 1, y es aproximadamente(resuelto por primera vez por Amthor). Las computadoras modernas pueden imprimir fácilmente todos los dígitos de la respuesta. Esto fue hecho por primera vez en la Universidad de Waterloo , en 1965 por Hugh C. Williams , RA German y Charles Robert Zarnke. Utilizaron una combinación de las computadoras IBM 7040 e IBM 1620 . [11]
Ecuación de Pell
Las restricciones de la segunda parte del problema son sencillas y se puede dar fácilmente la ecuación de Pell real que debe resolverse. Primero, uno pide que B + W sea un cuadrado , o usando los valores dados arriba,
por lo tanto, se debe establecer k = (3) (11) (29) (4657) q 2 para algún número entero q . Eso resuelve la primera condición. Para el segundo, requiere que D + Y sea un número triangular ,
Resolviendo para t ,
Sustituyendo el valor de D + Y y k y la búsqueda de un valor de q 2 tal que el discriminante de esta cuadrática es un cuadrado perfecto p 2 conlleva la solución de los ecuación Pell ,
El enfoque de Amthor que se analizó en la sección anterior consistía esencialmente en encontrar la v más pequeña de modo que sea integralmente divisible por 2 · 4657. La solución fundamental de esta ecuación tiene más de cien mil dígitos.
Referencias
- ^ Lessing, Gotthold Ephraim (1773). Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag [ Sobre historia y literatura: de los tesoros de la biblioteca ducal de Wolfenbüttel, segundo artículo ] (en alemán y griego). Braunschweig, (Alemania): Fürstlicher Waysenhaus. págs. 421–425.De las págs. 422–423: " Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschicket hätte, um es den Meßkünstern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift; ... "(Porque, como se dijo [arriba], el problema [griego: ΠΡΟΒΛΗΜΑ] será, si no hubiera sido compuesto por el mismo Arquímedes [griego: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], sin embargo, reconocido por él [como tan] digno de haberlo enviado a Eratóstenes [griego: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], para enviarlo al agrimensor en Alejandría para una solución. El título dice esto; ...) Ver páginas 423–424 ( en griego).
- ^ Krumbiegel, B .; Amthor, A. (1880). "Das Problema bovinum des Archimedes" [El problema del ganado de Arquímedes]. Zeitschrift für Mathematik und Physik: Historisch-literarische Abtheilung [Revista de matemáticas y física: sección histórico-literaria] (en alemán, griego y latín). 25 : 121-136, 153-171.
- ^ Información biográfica sobre August Amthor:
- El nombre completo de Amthor aparece en: (Administración escolar) (1876). Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz en Dresde [ Programa del Gimnasio de la Santa Cruz en Dresde ] (en alemán). Dresde, Alemania: K. Blochmann und Sohn. pag. 31.
- Aparece una breve biografía sobre Amthor en: Cantante, Isadore; de Leon, Edward Warren, eds. (1910). "Amthor, agosto (Ph.D.)". Enciclopedia internacional de seguros . 1 . Nueva York, Nueva York, Estados Unidos: American Encyclopedic Library Association. pag. 18.
- ^ El problema fue resuelto de forma independiente en 1895 por Adam Henry Bell, un topógrafo e ingeniero civil de Hillsboro, Illinois, EE. UU. Ver:
- Bell, AH (1895). "Sobre el célebre 'Problema del ganado' de Arquímedes". La Revista Matemática . 2 : 163-164.
- Bell, AH (1895). "El 'problema del ganado' por Arquímedes 251 aC" . American Mathematical Monthly . 2 : 140-141.
- El nombre completo de Bell aparece en: Bateman, Newton; Selby, Paul, eds. (1918). "Pescado, Albert E.". Enciclopedia histórica de Illinois . 2 . Chicago, Illinois, EE.UU .: Munsell Publishing Co. págs. 1049–1050.; ver p. 1050.
- Las ocupaciones de Bell aparecen en: Merriman, Mansfield (noviembre de 1905). "El problema del ganado de Arquímedes" . Popular Science Monthly . 67 : 660–665.; ver p. 664.
- ^ a b Lenstra, HW, Jr. (2002), "Resolver la ecuación de Pell" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (2): 182-192, MR 1875156
- ^ Rorres, Chris. "Problema del ganado de Arquímedes (declaración)" . Archivado desde el original el 24 de enero de 2007 . Consultado el 24 de enero de 2007 .
- ^ Fraser, PM (1972). Alejandría ptolemaica . Prensa de la Universidad de Oxford .
- ^ Weil, A. (1972). Teoría de números, un enfoque a través de la historia . Birkhäuser .
- ^ a b Merriman, Mansfield (1905). "El problema del ganado de Arquímedes". Popular Science Monthly . 67 : 660–665.
- ^ B. Krumbiegel, A. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) 121-136, 153-171.
- ^ Harold Alkema y Kenneth McLaughlin (2007). "Desagregación de la informática en la Universidad de Waterloo" . Universidad de Waterloo . Archivado desde el original el 4 de abril de 2011 . Consultado el 5 de abril de 2011 . (incluye fotos)
Otras lecturas
- Bell, AH (1895), "The" Cattle Problem ". Por Archimedies 251 BC", The American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América, 2 (5): 140-141, doi : 10.2307 / 2968125 , JSTOR 2968125
- Dörrie, Heinrich (1965). " Problema Bovinum de Arquímedes ". 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Publicaciones de Dover . págs. 3-7.
- Williams, HC; Alemán, RA; Zarnke, CR (1965). "Solución del problema del ganado de Arquímedes" . Matemáticas de la Computación . Sociedad Matemática Estadounidense . 19 (92): 671–674. doi : 10.2307 / 2003954 . JSTOR 2003954 .
- Vardi, I. (1998). "Problema del ganado de Arquímedes". American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 105 (4): 305–319. doi : 10.2307 / 2589706 .
- Benson, G. (2014). "Arquímedes el poeta: innovación genérica y fantasía matemática en el problema del ganado". Arethusa . Prensa de la Universidad Johns Hopkins . 47 (2): 169-196. doi : 10.1353 / son.2014.0008 .
enlaces externos
- Secuencia OEIS A096151 (Expansión decimal de la solución entera de 206545 dígitos al problema del ganado de Arquímedes) —Solución decimal completa del segundo problema
- Alex Bellos . "Holy Cow, eso es un gran número" (video) . YouTube . Brady Haran . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .