En matemáticas , particularmente en álgebra , un sistema indeterminado es un sistema de ecuaciones simultáneas (por ejemplo, ecuaciones lineales ) que tiene más de una solución (a veces infinitas soluciones). [1] [2] En el caso de un sistema lineal, se puede decir que el sistema está subespecificado , en cuyo caso la presencia de más de una solución implicaría un número infinito de soluciones (ya que el sistema se podría describir en términos de al menos una variable libre [3] ), pero esa propiedad no se extiende a los sistemas no lineales (por ejemplo, el sistema con la ecuación).
Un sistema indeterminado por definición es consistente , en el sentido de tener al menos una solución. [4] Para un sistema de ecuaciones lineales, el número de ecuaciones en un sistema indeterminado podría ser el mismo que el número de incógnitas, menor que el número de incógnitas (un sistema subdeterminado ), o mayor que el número de incógnitas (un sobredeterminado sistema ). Por el contrario, cualquiera de esos tres casos puede ser indeterminado o no.
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos de sistemas indeterminados de ecuaciones tienen, respectivamente, menos ecuaciones que, tantas ecuaciones como, y más ecuaciones que incógnitas:
Condiciones que dan lugar a la indeterminación
En los sistemas lineales, la indeterminación ocurre si y solo si el número de ecuaciones independientes (el rango de la matriz aumentada del sistema) es menor que el número de incógnitas y es el mismo que el rango de la matriz de coeficientes . Porque si hay al menos tantas ecuaciones independientes como incógnitas, eso eliminará cualquier tramo de superposición de las superficies de las ecuaciones en el espacio geométrico de las incógnitas (además de posiblemente un solo punto), lo que a su vez excluye la posibilidad de tener más de una solución. Por otro lado, si el rango de la matriz aumentada excede (necesariamente en uno, si es que lo supera) el rango de la matriz de coeficientes, entonces las ecuaciones se contradecirán conjuntamente, lo que excluye la posibilidad de tener alguna solución.
Encontrar el conjunto solución de un sistema lineal indeterminado
Deje que el sistema de ecuaciones se escriba en forma de matriz como
dónde es el matriz de coeficientes, es el vector de incógnitas, y es un vector de constantes. En cuyo caso, si el sistema es indeterminado, entonces el conjunto solución infinito es el conjunto de todosvectores generados por [5]
dónde es el pseudoinverso de Moore-Penrose de y es cualquier vector.
Ver también
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - indeterminado" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ "Sistemas indeterminados e inconsistentes: sistemas de ecuaciones" . TheProblemSite.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ Gustafson, Grant B. (2008). "Tres posibilidades (de un sistema lineal)" (PDF) . math.utah.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ "Sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes | Wyzant Resources" . www.wyzant.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ James, M., "The generalized inversa", Mathematical Gazette 62, junio de 1978, 109-114.
Otras lecturas
- Lay, David (2003). Álgebra lineal y sus aplicaciones . Addison-Wesley. ISBN 0-201-70970-8.