Espacio conectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conectado es un espacio topológico que no se puede representar como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico X es unconectado establece si es un espacio conectado cuando se ve comounsubespaciodeX.

Algunas condiciones relacionadas, pero más fuertes, están conectadas por caminos , simplemente conectadas y conectadas n . Otra noción relacionada está localmente conectada , lo que no implica ni se sigue de la conexión.

Se dice que un espacio topológico X esdesconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De lo contrario,se dice queXestáconectado. Sedice queunsubconjuntode un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen elconjunto vacío(con su topología única) como un espacio conectado, pero este artículo no sigue esa práctica.

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de no división de X en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (independientemente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Consulte ^[1] para obtener más detalles.

Dado algún punto en un espacio topológico, la unión de cualquier colección de subconjuntos conectados que cada uno contenga volverá a ser un subconjunto conectado. El ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle x}$ componente conectado de un punto enes la unión de todos los subconjuntos conectados deque lo contienenes el únicosubconjunto conectadomás grande (con respecto a)que contiene Lossubconjuntos conectadosmáximos(ordenados porinclusión) de un espacio topológico no vacío se denominan los ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x;}$ ${\ Displaystyle \ subseteq}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x.}$ ${\ Displaystyle \ subseteq}$ componente conectado esdel espacio. Los componentes de cualquier espacio topológicoforman unaparticiónde : sondisjuntos, no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es unsubconjunto cerradodel espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de losnúmeros racionalesson los conjuntos de un punto (singletons), que no son abiertos. Prueba: dos números racionalesdistintos tienen componentes diferentes. Tome un número irracionaly luego establezca ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle q_ {1} <q_ {2}}$ ${\ Displaystyle q_ {1} <r <q_ {2},}$ ${\ Displaystyle A = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q <r \}}$ y luego es una separación de y . Por tanto, cada componente es un conjunto de un punto. ${\ Displaystyle B = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q> r \}.}$ ${\ Displaystyle (A, B)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ Displaystyle q_ {1} \ in A, q_ {2} \ in B}$