En topología y otras ramas de las matemáticas , un espacio topológico X se conecta localmente si cada punto admite una base barrio compuesto enteramente de abiertos , conectados conjuntos.
Fondo
A lo largo de la historia de la topología, la conectividad y la compacidad han sido dos de las propiedades topológicas más estudiadas. De hecho, el estudio de estas propiedades incluso entre subconjuntos del espacio euclidiano , y el reconocimiento de su independencia de la forma particular de la métrica euclidiana , jugó un papel importante en la clarificación de la noción de propiedad topológica y, por tanto, de espacio topológico. Sin embargo, mientras que la estructura de subconjuntos compactos del espacio euclidiano se entendió bastante temprano a través del teorema de Heine-Borel , subconjuntos conectados de(para n > 1) resultó ser mucho más complicado. De hecho, mientras que cualquier espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto , un espacio conectado, e incluso un subconjunto conectado del plano euclidiano, no necesita estar conectado localmente (ver más abajo).
Esto condujo a una rica veta de investigación en la primera mitad del siglo XX, en la que los topólogos estudiaron las implicaciones entre variaciones cada vez más sutiles y complejas sobre la noción de un espacio conectado localmente. Como ejemplo, la noción de conexión local débil en un punto y su relación con la conexión local se considerarán más adelante en el artículo.
En la última parte del siglo XX, las tendencias de investigación cambiaron a un estudio más intenso de espacios como las variedades , que se comprenden bien localmente (siendo localmente homeomórficos al espacio euclidiano) pero que tienen un comportamiento global complicado. Con esto se quiere decir que, aunque la topología básica de conjuntos de puntos de las variedades es relativamente simple (ya que las variedades son esencialmente metrizables según la mayoría de las definiciones del concepto), su topología algebraica es mucho más compleja. Desde esta perspectiva moderna, la propiedad más fuerte de la conectividad de la ruta local resulta ser más importante: por ejemplo, para que un espacio admita una cubierta universal , debe estar conectado y una ruta conectada localmente. También se discutirá la conectividad de la ruta local.
Un espacio está conectado localmente si y solo si para cada conjunto abierto U , los componentes conectados de U (en la topología del subespacio ) están abiertos. De ello se deduce, por ejemplo, que una función continua desde un espacio conectado localmente a un espacio totalmente desconectado debe ser localmente constante. De hecho, la apertura de los componentes es tan natural que uno debe asegurarse de tener en cuenta que no es cierto en general: por ejemplo, el espacio de Cantor está totalmente desconectado pero no es discreto .
Definiciones y primeros ejemplos
Deje X un espacio topológico, y dejar que x sea un punto de X .
Decimos que X está conectado localmente en x si para cada conjunto abierto V que contiene x existe un conjunto abierto U conectado con. El espacio X se dice que está conectado localmente si está conectado localmente en x para todo x en X . [1] Tenga en cuenta que la conectividad local y la conectividad no están relacionadas entre sí; un espacio puede poseer una o ambas de estas propiedades, o ninguna.
Por el contrario, decimos que X es débilmente conectada de forma local en x (o conectado kleinen im a x ) si para cada conjunto abierto V que contiene x existe un subconjunto conectado N de V de tal manera que x se encuentra en el interior de N . Una definición equivalente es: cada conjunto abierto V que contiene x contiene un entorno abierto U de x tales que cualesquiera dos puntos en U mentira en algún subconjunto conectado de V . [2] El espacio X se dice que es débilmente conectado localmente si está débilmente conectada de forma local en x para todo x en X .
En otras palabras, la única diferencia entre las dos definiciones es que para la conectividad local en x requerimos una base de vecindad de conjuntos conectados abiertos que contengan x , mientras que para la conectividad local débil en x solo requerimos una base de vecindad de conjuntos conectados que contengan x .
Evidentemente, un espacio que está conectado localmente en x está débilmente conectado localmente en x . Lo contrario no se sostiene (un contraejemplo, el espacio de la escoba , se da a continuación). Por otro lado, es igualmente claro que un espacio conectado localmente está conectado localmente débilmente, y aquí resulta que lo contrario se cumple: un espacio que está conectado localmente débilmente en todos sus puntos está necesariamente conectado localmente en todos sus puntos. puntos. [3] A continuación se proporciona una prueba.
Decimos que X es una ruta localmente conectada en x si para cada conjunto abierto V que contiene x existe una ruta conectada , el conjunto abierto U con. El espacio X se dice que es camino localmente conectado si es localmente camino conectado en x para todo x en X .
Dado que los espacios conectados por caminos están conectados, los espacios conectados por caminos localmente están conectados localmente. Esta vez lo contrario no se sostiene (vea el ejemplo 6 a continuación).
Primeros ejemplos
- Para cualquier entero positivo n , el espacio euclidianoestá conectado localmente con la ruta, por lo tanto conectado localmente también está conectado.
- De manera más general, cada espacio vectorial topológico localmente convexo está conectado localmente, ya que cada punto tiene una base local de vecindarios convexos (y por lo tanto conectados).
- El subespacio de la linea real está conectado a una ruta local pero no está conectado Dado que, aunque los intervalos no están abiertos en , están abiertos en .
- La curva sinusoidal del topólogo es un subespacio del plano euclidiano que está conectado, pero no conectado localmente. [4]
- El espacio de números racionales dotados de la topología euclidiana estándar, no está conectado ni conectado localmente.
- El espacio del peine está conectado con la ruta pero no con la ruta local.
- Un conjunto numerablemente infinito dotado de la topología cofinita está conectado localmente (de hecho, hiperconectado ) pero no conectado a una ruta local. [5]
Más adelante en el artículo se dan más ejemplos.
Propiedades
- Conectividad local es, por definición, una de la propiedad local de espacios topológicos, es decir, una propiedad topológica P de tal manera que un espacio X posee la propiedad P si y sólo si cada punto x en X admite una base barrio de conjuntos que tienen la propiedad P . En consecuencia, todas las "metapropiedades" en poder de una propiedad local se mantienen para la conectividad local. En particular:
- Un espacio está conectado localmente si y solo si admite una base de subconjuntos conectados.
- La unión disjunta de una familia de espacios está conectado localmente si y solo si cada está conectado localmente. En particular, dado que un solo punto está ciertamente conectado localmente, se deduce que cualquier espacio discreto está conectado localmente. Por otro lado, un espacio discreto está totalmente desconectado , por lo que está conectado solo si tiene como máximo un punto.
- Por el contrario, un espacio totalmente desconectado está conectado localmente si y solo si es discreto. Esto se puede utilizar para explicar el hecho mencionado anteriormente de que los números racionales no están conectados localmente.
Componentes y componentes de ruta
El siguiente resultado se deriva casi inmediatamente de las definiciones, pero será bastante útil:
Lema: Sea X un espacio yuna familia de subconjuntos de X . Suponer queno está vacío. Entonces, si cada está conectado (respectivamente, camino conectado) entonces la unión está conectado (respectivamente, camino conectado). [6]
Ahora considere dos relaciones en un espacio topológico X : para, escribir:
- si hay un subconjunto conectado de X que contiene tanto x como y ; y
- si hay un subconjunto de X conectado a una ruta que contenga tanto x como y .
Evidentemente, ambas relaciones son reflexivas y simétricas. Además, si x y y están contenidos en un conectado (respectivamente, camino conectado) subconjunto A y y y z están conectados en una conexión (respectivamente, camino conectado) subconjunto B , entonces el Lemma implica quees un subconjunto conectado (respectivamente, conectado por ruta) que contiene x , y y z . Por tanto, cada relación es una relación de equivalencia y define una partición de X en clases de equivalencia . Consideramos estas dos particiones a su vez.
Para x en X , el conjuntode todos los puntos y tal quese llama el componente conectado de x . [7] El Lema implica quees el subconjunto conectado máximo único de X que contiene x . [8] Desde el cierre dees también un subconjunto conectado que contiene x , [9] se sigue queestá cerrado. [10]
Si X solo tiene un número finito de componentes conectados, entonces cada componente es el complemento de una unión finita de conjuntos cerrados y, por lo tanto, abiertos. En general, los componentes conectados no necesitan estar abiertos, ya que, por ejemplo, existen espacios totalmente desconectados (es decir,para todos los puntos x ) que no son discretos, como el espacio de Cantor. Sin embargo, los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos y, por lo tanto, son conjuntos abiertos . [11] Se deduce que un espacio X conectado localmente es una unión disjunta topológicade sus distintos componentes conectados. A la inversa, si para cada subconjunto abierto U de X , los componentes conectados de U están abiertos, entonces X admite una base de conjuntos conectados y, por lo tanto, está conectado localmente. [12]
De manera similar, x en X , el conjuntode todos los puntos y tal quese llama el componente de ruta de x . [13] Como arriba,es también la unión de todos los subconjuntos de X conectados por caminos que contienen x , por lo que por el Lema está conectado por caminos. Debido a que los conjuntos conectados por caminos están conectados, tenemospara todos x en X .
Sin embargo, el cierre de un conjunto conectado por camino no necesita estar conectado por camino: por ejemplo, la curva sinusoidal del topólogo es el cierre del subconjunto abierto U que consta de todos los puntos (x, y) con x> 0 , y U , siendo homeomorfo a un intervalo en la línea real, ciertamente está conectado con la ruta. Además, los componentes de la trayectoria de la curva sinusoidal C del topólogo son U , que está abierta pero no cerrada, y, que está cerrado pero no abierto.
Un espacio es una ruta conectada localmente si y solo si para todos los subconjuntos abiertos U , los componentes de la ruta de U están abiertos. [13] Por lo tanto, los componentes de la ruta de un espacio conectado a una ruta local dan una partición de X en conjuntos abiertos disjuntos por pares. De ello se deduce que un subespacio abierto conectado de un espacio conectado a una ruta local está necesariamente conectado a una ruta. [14] Además, si un espacio está conectado localmente a una ruta, entonces también está conectado localmente, por lo que para todo x en X , está conectado y abierto, por lo tanto, camino conectado, es decir, . Es decir, para un espacio conectado a una ruta local, los componentes y los componentes de la ruta coinciden.
Ejemplos de
- El conjunto I × I (donde I = [0,1]) en la topología del orden del diccionario tiene exactamente un componente (porque está conectado) pero tiene incontables componentes de ruta. De hecho, cualquier conjunto de la forma { a } x I es un componente de la ruta para cada una perteneciente a I .
- Sea f un mapa continuo de R a R ℓ ( R en la topología del límite inferior ). Dado que R está conectado, y la imagen de un espacio conectado debajo de un mapa continuo debe estar conectada, la imagen de R debajo de f debe estar conectada. Por lo tanto, la imagen de R debajo de f debe ser un subconjunto de un componente de R ℓ . Dado que esta imagen no está vacía, los únicos mapas continuos de R a R ℓ son los mapas constantes. De hecho, cualquier mapa continuo desde un espacio conectado a un espacio totalmente desconectado debe ser constante.
Cuasicomponentes
Sea X un espacio topológico. Definimos una tercera relación en X :si no hay separación de X en conjuntos abiertos A y B de tal manera que x es un elemento de A y Y es un elemento de B . Esta es una relación de equivalencia en X y la clase de equivalenciaque contiene x se llama cuasicomponente de x . [8]
también puede ser caracterizado como la intersección de todos abiertos y cerrados subconjuntos de X que contienen x . [8] En consecuenciaestá cerrado; en general, no es necesario que esté abierto.
Evidentemente para todos x en X . [8] En general, tenemos las siguientes contenciones entre componentes de ruta, componentes y cuasicomponentes en x :
Si X está conectado localmente, entonces, como arriba,es un conjunto cerrado que contiene x , entonces y por lo tanto . Dado que la conectividad de la ruta local implica la conectividad local, se deduce que en todos los puntos x de un espacio conectado a la ruta local tenemos
Otra clase de espacios para los que los cuasicomponentes concuerdan con los componentes es la clase de espacios compactos de Hausdorff.
Ejemplos de
- Un ejemplo de un espacio cuyos cuasicomponentes no son iguales a sus componentes es una secuencia con un doble punto límite. Este espacio está totalmente desconectado, pero ambos puntos límite se encuentran en el mismo cuasicomponente, porque cualquier conjunto cerrado que contenga uno de ellos debe contener una cola de la secuencia y, por lo tanto, el otro punto también.
- El espacio es localmente compacto y Hausdorff, pero los conjuntos y son dos componentes diferentes que se encuentran en el mismo cuasicomponente.
- El espacio Arens-Fort no está conectado localmente, pero sin embargo los componentes y los cuasicomponentes coinciden: de hechopara todos los puntos x . [4]
Condiciones suficientes
Teorema - Seaser un espacio débilmente conectado localmente. Luego está conectado localmente.
Prueba |
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Es suficiente mostrar que los componentes de los conjuntos abiertos están abiertos. Dejar estar abierto en y deja ser un componente de Dejar ser un elemento de Luego es un elemento de para que haya un subespacio conectado de contenida en y conteniendo un vecindario de . Desde está conectado y contiene debe ser un subconjunto de (el componente que contiene ). Por tanto, el barrio de es un subconjunto de que muestra que es un punto interior de Desde fue un punto arbitrario de está abierto en Por lo tanto, está conectado localmente. |
Una cierta unión infinita de espacios de escoba decrecientes es un ejemplo de un espacio que está débilmente conectado localmente en un punto particular, pero no conectado localmente en ese punto. [15]
Un primer espacio de Hausdorff contable está conectado a la ruta localmente si y solo si es igual a la topología final en inducido por el conjunto de todos los caminos continuos
Notas
- ^ Willard, Definición 27.4, p. 199
- ↑ Willard, Definición 27.14, p. 201
- ↑ Willard, Teorema 27.16, p. 201
- ↑ a b Steen y Seebach, págs. 137-138
- ^ Steen y Seebach, págs. 49–50
- ^ Willard, Teorema 26.7a, p. 192
- ↑ Willard, Definición 26.11, p.194
- ^ a b c d Willard, Problema 26B, págs. 195-196
- ^ Kelley, Teorema 20, p. 54; Willard, Teorema 26.8, p.193
- ^ Willard, Teorema 26.12, p. 194
- ↑ Willard, Corolario 27.10, p. 200
- ^ Willard, Teorema 27.9, p. 200
- ↑ a b Willard, Problema 27D, p. 202
- ^ Willard, Teorema 27.5, p. 199
- ^ Steen & Seebach, ejemplo 119.4, p. 139
Ver también
- Espacio de peine
- Espacio conectado
- Relación de equivalencia
- Línea Sorgenfrey
- Curva sinusoidal del topólogo
- Espacio totalmente desconectado
- Espacio localmente conectado de forma sencilla
- Conectado de forma semi-local simplemente
Referencias
- John L. Kelley ; Topología general ; ISBN 0-387-90125-6
- Munkres, James (1999), Topología (2.a ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
- Stephen Willard; Topología general ; Publicaciones de Dover, 2004.
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
Otras lecturas
- Coppin, CA (1972), "Funciones continuas de un espacio conectado localmente conectado a un espacio conectado con un punto de dispersión", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 32 (2): 625–626, doi : 10.1090 / S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR 2037874. Para los espacios de Hausdorff, se muestra que cualquier función continua desde un espacio conectado localmente conectado a un espacio conectado con un punto de dispersión es constante
- Davis, HS (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 19 (5): 1237-1241, doi : 10.1090 / s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR 2036067.