En la matemática rama de la topología algebraica , específicamente teoría homotopy , n -connectedness (a veces, n conexión -simple ) generaliza los conceptos de camino-conectividad y conexión sencilla . Decir que un espacio está n conectado es decir que sus primeros n grupos de homotopía son triviales, y decir que un mapa está n conectado significa que es un isomorfismo "hasta la dimensión n, en homotopía ".
n- espacio conectado
Se dice que un espacio topológico X está n conectado (para n positivo ) cuando no está vacío, está conectado por una ruta , y sus primeros n grupos de homotopía se desvanecen de manera idéntica, es decir
dónde denota el i -ésimo grupo de homotopía y 0 denota el grupo trivial. [1]
Los requisitos de no estar vacío y estar conectado a una ruta se pueden interpretar como (−1) conectado y conectado a 0 , respectivamente, lo que es útil para definir mapas conectados por 0 y conectados por 1, como se muestra a continuación. El conjunto de homotopía 0 se puede definir como:
Éste es sólo un conjunto puntiagudo , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase del mapa trivial, el envío de S 0 al punto base de X . Usando este conjunto, un espacio está conectado con 0 si y solo si el conjunto de homotopía 0 es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X sea apuntado (tener un punto base elegido), lo que no se puede hacer si X está vacío.
Un espacio topológico X está conectado por una ruta si y solo si su grupo de homotopía 0 desaparece de manera idéntica, ya que la conexión por una ruta implica que dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en X pueden conectarse con una ruta continua que comienza en x 1 y termina en x 2 , que es equivalente a la afirmación de que todo mapeo de S 0 (un conjunto discreto de dos puntos) a X puede deformarse continuamente a un mapa constante. Con esta definición, podemos definir que X esté n conectado si y solo si
Ejemplos de
- Un espacio X está conectado (−1) si y solo si no está vacío.
- Un espacio X está conectado a 0 si y solo si no está vacío y está conectado a una ruta .
- Un espacio está conectado en 1 si y solo si está simplemente conectado .
mapa conectado n
La noción relativa correspondiente a la noción absoluta de un espacio conectado con n es un mapa conectado con n , que se define como un mapa cuya fibra de homotopía Ff es un espacio conectado ( n - 1). En términos de grupos de homotopía, significa que un mapa está conectado en n si y solo si:
- es un isomorfismo para , y
- es una sobreyección.
La última condición es frecuentemente confusa; es porque la desaparición del ( n - 1) -st grupo de homotopía de la fibra de homotopía Ff corresponde a una sobreyección en el n- ésimo grupo de homotopía, en la secuencia exacta:
Si el grupo de la derecha desaparece, entonces el mapa de la izquierda es una sobreyección.
Ejemplos de dimensiones reducidas:
- Un mapa conectado (mapa conectado a 0) es uno que está en componentes de ruta (grupo de homotopía 0); esto corresponde a que la fibra de homotopía no está vacía.
- Un mapa simplemente conectado (mapa conectado 1) es uno que es un isomorfismo en los componentes de la ruta (grupo de homotopía 0) y en el grupo fundamental (grupo de homotopía 1).
n -conectividad para espacios puede, a su vez, definirse en términos de n -conectividad de mapas: un espacio X con punto base x 0 es un espacio n- conectado si y solo si la inclusión del punto basees un mapa conectado con n . El conjunto de un solo punto es contráctil, por lo que todos sus grupos de homotopía desaparecen y, por lo tanto, el "isomorfismo por debajo de ny sobre n " corresponde a los primeros n grupos de homotopía de X desapareciendo.
Interpretación
Esto es instructivo para un subconjunto: una inclusión n- conectadaes uno de tal manera que, hasta dimensión n - 1, homotopías en el espacio más grande X se pueden homotoped en homotopías en el subconjunto A .
Por ejemplo, para un mapa de inclusión para ser 1-conectado, debe ser:
- sobre
- uno a uno en y
- sobre
Uno a uno en significa que si hay un camino que conecta dos puntos al pasar por X, hay un camino en A que los conecta, mientras que ensignifica que, de hecho, una ruta en X es homotópica a una ruta en A.
En otras palabras, una función que es un isomorfismo en solo implica que cualquier elemento de que son homotópicos en X son abstractamente homotópicos en A - la homotopía en A puede no estar relacionada con la homotopía en X - mientras está n -conectada (así también en) Significa que (hasta dimensión n - 1) homotopías en X pueden ser empujados en homotopías en A .
Esto da una explicación más concreta de la utilidad de la definición de n -conexión: por ejemplo, un espacio donde la inclusión del k -esqueleto está n -conectada (para n > k ) - como la inclusión de un punto en el n -sphere - tiene la propiedad de que cualquier célula en dimensiones entre k y n no afectan a los tipos de homotopía inferior-dimensionales.
Aplicaciones
El concepto de conexión n se utiliza en el teorema de Hurewicz que describe la relación entre la homología singular y los grupos de homotopía superior.
En topología geométrica , casos en los que la inclusión de un espacio definido geométricamente, como el espacio de inmersiones en un espacio topológico más general, como el espacio de todos los mapas continuos entre dos espacios asociados están conectados en n se dice que satisfacen un principio de homotopía o "principio h". Hay una serie de poderosas técnicas generales para probar los principios h.
Ver también
Referencias
- ^ "espacio n-conectado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 18 de septiembre de 2017 .