La paradoja de la rueda de Aristóteles es una paradoja o problema que aparece en la obra griega Mechanica tradicionalmente atribuida a Aristóteles . [1] Una rueda se puede representar en dos dimensiones usando dos círculos.. El círculo más grande es tangente a una superficie horizontal (por ejemplo, una carretera) por la que puede rodar. El círculo más pequeño tiene el mismo centro y se fija rígidamente al más grande. El círculo más pequeño podría representar el talón de un neumático, una llanta en la que está montado el neumático, un eje, etc. Suponga que el círculo más grande rueda sin resbalar (o patinar) durante una revolución completa. Las distancias movidas por ambos círculos son de la misma longitud, como se muestra en las líneas discontinuas azul y roja y la distancia entre las dos líneas verticales negras. La distancia del círculo más grande es igual a su circunferencia , pero la distancia del círculo más pequeño es más larga que su circunferencia: una paradoja o un problema.
La paradoja no se limita a una rueda. Otras cosas representadas en dos dimensiones muestran el mismo comportamiento. Un rollo de cinta lo hace. Una típica botella redonda o frasco enrollado de lado lo hace; el círculo más pequeño que representa la boca o el cuello de la botella o frasco.
Hay algunas cosas que se representan con la línea horizontal marrón en la imagen tangente al círculo más pequeño en lugar del más grande. Algunos ejemplos son una rueda de tren típica, que tiene una brida, o una barra a horcajadas sobre un banco. Drabkin los llamó Caso II y el tipo de la imagen Caso I. [1] Se aplica un análisis similar pero no idéntico.
Historia de la paradoja
En la antigüedad
En la antigüedad, el problema de la rueda se describía en la Mechanica aristotélica , así como en la Mechanica del héroe de Alejandría . [1] En el primero aparece como "Problema 24", donde la descripción de la rueda se da de la siguiente manera.
Para que haya un círculo más grande ΔZΓ un EHB más pequeño, y A en el centro de ambos; sea ZI la línea que la mayor desenrolla por sí sola, y HK la que la menor desenrolla por sí sola, igual a ZΛ. Cuando muevo el círculo más pequeño, muevo el mismo centro, que es A; deja que el más grande se le adhiera. Cuando AB se vuelve perpendicular a HK, al mismo tiempo AΓ se vuelve perpendicular a ZΛ, de modo que siempre habrá completado una distancia igual, es decir, HK para la circunferencia HB y ZΛ para ZΓ. Si el cuarto se desenrolla a la misma distancia, está claro que todo el círculo se desenrollará a la misma distancia que el círculo completo, de modo que cuando la línea BH llegue a K, la circunferencia ZΓ será ZΛ y todo el círculo se desenrollará. De la misma manera, cuando muevo el círculo grande, encajando el pequeño en él, siendo su centro el mismo, AB será perpendicular y en ángulo recto simultáneamente con AΓ, este último con ZI, el primero con HΘ. De modo que, cuando uno haya completado una línea igual a HΘ, y el otro a ZI, y ZA vuelva a ser perpendicular a ZΛ, y HA a HK, de modo que quedarán como al principio en Θ e I. [2 ]
A continuación, se plantea el problema:
Ahora bien, como no hay parada del mayor para el menor de modo que [el mayor] permanece por un intervalo de tiempo en el mismo punto, y como el menor no salta sobre ningún punto, es extraño que el mayor atraviese un camino igual a la del menor, y nuevamente que el menor atraviesa un camino igual al del mayor. Además, es destacable que, aunque en cada caso hay un solo movimiento, el centro que se mueve en un caso rueda una gran distancia y en el otro una distancia menor. [1]
En la revolución científica
El matemático Gerolamo Cardano discute el problema de la rueda en su Opus novum de proporcionibus numerorum de 1570 , [3] cuestionando la presunción del análisis del problema en términos de movimiento. [1] Mersenne discutió más a fondo la rueda en su Quaestiones Celeberrimae in Genesim de 1623 , [4] donde sugiere que el problema puede analizarse mediante un proceso de expansión y contracción de los dos círculos. Pero Mersenne seguía insatisfecho con su comprensión, escribiendo,
De hecho, nunca he podido descubrir, y no creo que nadie más haya podido descubrir si el círculo más pequeño toca el mismo punto dos veces o si avanza a saltos y deslizamientos. [1]
En sus Dos nuevas ciencias , Galileo utiliza el problema de la rueda para defender cierto tipo de atomismo . Galileo comienza su análisis considerando un par de hexágonos concéntricos , en contraposición a un par de círculos. Al imaginar esta rueda hexagonal "rodando" sobre una superficie, Galileo se da cuenta de que el hexágono interior "salta" un pequeño espacio, con cada giro del hexágono exterior en una nueva cara. [5] Luego imagina lo que sucedería en el límite cuando el número de caras en el polígono se vuelve muy grande, y encuentra que el pequeño espacio que es "saltado" por el polígono interior se vuelve cada vez más pequeño, escribiendo:
Por lo tanto, un polígono más grande que tiene mil lados pasa y mide una línea recta igual a su perímetro, mientras que al mismo tiempo el más pequeño pasa por una línea aproximadamente igual, pero una compuesta de manera interrumpida por mil pequeñas partículas iguales a sus mil lados con un mil pequeños espacios vacíos interpuestos, pues podemos llamarlos "vacíos" en relación con los mil linelets tocados por los lados del polígono. [5]
Dado que el círculo es solo el límite en el que el número de caras en el polígono se vuelve infinito, Galileo encuentra que la rueda de Aristóteles contiene material que está lleno de espacios infinitesimales o "vacíos", y que "los vacíos interpuestos no se cuantifican, sino que muchos". [5] Esto lleva a Galileo a concluir que la creencia en los átomos, en el sentido de que la materia está "compuesta por una cantidad infinita de átomos no cuantificables" es suficiente para resolver el problema de la rueda. [5] Gilles de Roberval (Personne) 1602-1675 también está asociado con este problema.
En el siglo 19
Bernard Bolzano discutió la rueda de Aristóteles en Las paradojas del infinito (1851), un libro que influyó en Georg Cantor y pensadores posteriores sobre las matemáticas del infinito. Bolzano observa que existe una biyección entre los puntos de dos arcos similares cualesquiera, que se puede implementar trazando un radio, señalando que la historia de este hecho aparentemente paradójico se remonta a Aristóteles. [1]
En el siglo 20
El autor de Mathematical Fallacies and Paradoxes usa una moneda de diez centavos pegada a medio dólar con sus centros alineados, ambos fijos a un eje, como modelo para la paradoja. La moneda de diez centavos sirve como el círculo más pequeño y el medio dólar como el más grande. El escribe:
Entonces, esta es la solución o la clave. Aunque tenga cuidado de no dejar que el medio dólar se resbale sobre la mesa, el “punto” que traza el segmento de línea al pie de la moneda de diez centavos gira y se desliza todo el tiempo. Se desliza con respecto al tablero de la mesa. Dado que la moneda de diez centavos no toca la superficie de la mesa, no se nota el deslizamiento. Si puede hacer rodar el medio dólar a lo largo de la mesa y al mismo tiempo hacer rodar la moneda de diez centavos (o mejor aún, el eje) a lo largo de un bloque de madera, realmente puede observar el deslizamiento. Si alguna vez se estacionó demasiado cerca de la acera, habrá notado el chirrido que hace la tapa de la maza cuando se desliza (y rueda) en la acera mientras su llanta simplemente rueda sobre el pavimento. Cuanto más pequeño es el círculo pequeño en relación con el círculo grande, más se desliza el pequeño. Por supuesto, el centro de los dos círculos no gira en absoluto, por lo que se desliza todo el camino. [6]
Alternativamente, se puede rechazar la suposición de que el círculo más pequeño es independiente del círculo más grande. Imagina un neumático como el círculo más grande e imagina el círculo más pequeño como la circunferencia interior del neumático y no como la llanta. El movimiento del círculo interior depende del círculo más grande. Por lo tanto, su movimiento de cualquier punto a otro se puede calcular utilizando un inverso de su relación.
Análisis y soluciones
La paradoja es que el círculo interior más pequeño se mueve 2π R , la circunferencia del círculo exterior más grande con radio R , en lugar de su propia circunferencia. Si el círculo interior se enrollara por separado, se movería 2π r , su propia circunferencia con radio r . El círculo interior no está separado sino rígidamente conectado al más grande. Entonces 2π r es una pista falsa . El centro del círculo interior es relevante, su radio es relevante, pero su circunferencia no lo es.
Primera solucion
Si el círculo más pequeño depende del más grande (Caso I), entonces el movimiento del círculo más grande obliga al círculo más pequeño a atravesar la circunferencia del círculo más grande. Si el círculo más grande depende del más pequeño (Caso II), entonces el movimiento del círculo más pequeño fuerza al círculo más grande a atravesar la circunferencia del círculo más pequeño. Ésta es la solución más sencilla.
Segunda solucion
Esta solución considera la transición de las posiciones inicial a final. Sea Pb un punto en el círculo más grande y Ps un punto en el círculo más pequeño, ambos en el mismo radio. Por conveniencia, suponga que ambos están directamente debajo del centro, análogos a las dos manecillas de un reloj que apunta hacia las seis. Tanto Pb como Ps viajan por un camino cicloide mientras giran juntos una revolución. Las dos rutas se muestran aquí: http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html y http://mathworld.wolfram.com/CurtateCycloid.html .
Si bien cada uno viaja 2π R horizontalmente de principio a fin, la ruta cicloide de Ps es más corta y más eficiente que la de Pb. Pb viaja más arriba y más abajo de la trayectoria del centro, la única recta, que Ps. La imagen cercana muestra los círculos antes y después de girar una revolución. Muestra los movimientos del centro, Pb y Ps, con Pb y Ps comenzando y terminando en la parte superior de sus círculos. La línea de trazos verde es el movimiento del centro. La curva de trazos azules muestra el movimiento de Pb. La curva de trazos rojos muestra el movimiento de Ps. El camino de Ps es claramente más corto que el de Pb. Cuanto más cerca está Ps del centro, más corta, más directa y más cercana a la línea verde es su trayectoria.
Si Pb y Ps estuvieran en cualquier otro lugar de sus respectivos círculos, las trayectorias curvas tendrían la misma longitud. Resumiendo, el círculo más pequeño se mueve horizontalmente 2π R porque cualquier punto en el círculo más pequeño recorre un camino más corto y directo que cualquier punto en el círculo más grande.
Tercera solucion
Esta solución solo compara las posiciones inicial y final. El círculo más grande y el círculo más pequeño tienen el mismo centro. Si se mueve dicho centro, ambos círculos se mueven la misma distancia, que es una propiedad necesaria de traslación y es igual a 2π R en el experimento. Además, todos los demás puntos de ambos círculos tienen la misma posición con respecto al centro antes y después de rodar una revolución (o cualquier otro número entero de revoluciones). Para una rueda con varios círculos internos concéntricos, el movimiento de traslación de cada círculo es idéntico porque todos tienen el mismo centro. Esto prueba además que la circunferencia de cualquier círculo interno es completamente irrelevante (Caso 1).
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e f g Drabkin, Israel E. (1950). "Rueda de Aristóteles: notas sobre la historia de una paradoja". Osiris . 9 : 162-198. doi : 10.1086 / 368528 . JSTOR 301848 .
- ^ Leeuwen, Joyce van (17 de marzo de 2016). La mecánica aristotélica: texto y diagramas . Saltador. ISBN 9783319259253.
- ^ Cardano, Geronimo (1570). Opus novum de proporcionibus numerorum ...: Praeterea Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ... Item De regula liber ...
- ^ Mersenne, Marin (1623). Quaestiones celeberrimae en Genesim ... (en latín).
- ^ a b c d Galilei, Galileo; Drake, Stillman (2000). Dos nuevas ciencias: incluidos los centros de gravedad y la fuerza de percusión . Wall y Emerson. ISBN 9780921332503.
- ^ Manojo, Bryan H. (1982). Falacias y paradojas matemáticas . Van Nostrand Reinhold. págs. 3–9. ISBN 0-442-24905-5.
Otras lecturas
- Rota Aristotelica , The Archimedes Project, Digital Research Library
- Weisstein, Eric W. "Paradoja de la rueda de Aristóteles" . MathWorld .