En matemáticas aplicadas , la difusión de Arnold es el fenómeno de inestabilidad de los sistemas hamiltonianos integrables . El fenómeno lleva el nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en el campo en 1964. [1] [2] Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a resultados que afirman la existencia de soluciones a sistemas hamiltonianos casi integrables que exhiben un cambio significativo. en las variables de acción.
La difusión de Arnold describe la difusión de trayectorias debidas al teorema ergódico en una porción del espacio de fase libre de restricciones ( es decir, no delimitado por tori lagrangianos que surgen de constantes de movimiento ) en sistemas hamiltonianos . Ocurre en sistemas con más de N = 2 grados de libertad, ya que los toros invariantes N -dimensionales ya no separan el espacio de fase 2 N -1 dimensional. Por lo tanto, una perturbación arbitrariamente pequeña puede hacer que varias trayectorias deambulen pseudoaleatoriamente a través de toda la porción del espacio de fase dejado por los toros destruidos.
Antecedentes y declaración
Para sistemas integrables, se tiene la conservación de las variables de acción . De acuerdo con el teorema KAM, si perturbamos un sistema integrable levemente, muchas, aunque ciertamente no todas, las soluciones del sistema perturbado permanecen cerca, para siempre, del sistema no perturbado. En particular, dado que las variables de acción se conservaron originalmente, el teorema nos dice que solo hay un pequeño cambio en la acción para muchas soluciones del sistema perturbado.
Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, [1] existen sistemas casi integrables para los que existen soluciones que exhiben un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo de un sistema hamiltoniano casi integrable con
Mostró que para este sistema, con cualquier elección de dónde , existe un tal que para todos hay una solución al sistema para la cual
durante algún tiempo
En [3] se pueden encontrar antecedentes sobre el teorema KAM y en [4] se puede encontrar un compendio de resultados matemáticos rigurosos, con conocimientos de la física. [4]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Arnold, Vladimir I. (1964). "Inestabilidad de sistemas dinámicos con varios grados de libertad" . Matemáticas soviéticas . 5 : 581–585.
- ^ Florin Diacu ; Philip Holmes (1996). Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 193. ISBN 0-691-00545-1.
- ^ Henk W. Broer, Mikhail B. Sevryuk (2007) Teoría de KAM: cuasi-periodicidad en sistemas dinámicos En: HW Broer, B. Hasselblatt y F. Takens (eds.), Handbook of Dynamical Systems Vol. 3, Holanda Septentrional, 2010
- ^ Pierre Lochak, (1999) Difusión de Arnold; un compendio de comentarios y preguntas en "Sistemas hamiltonianos con tres o más grados de libertad" (S'Agar´o, 1995), C. Sim´o, ed, NATO ASI Serie C: Matemáticas. Phys. Sci., Vol. 533, Kluwer Academic, Dordrecht (1999), 168-183.