En la mecánica clásica , las coordenadas del ángulo de acción son un conjunto de coordenadas canónicas útiles para resolver muchos sistemas integrables . El método de los ángulos de acción es útil para obtener las frecuencias de movimiento oscilatorio o rotacional sin resolver las ecuaciones del movimiento . Las coordenadas del ángulo de acción se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables. (Por lo tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, la energía se conserva ). Las variables de ángulo de acción definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro , mientras que las variables de ángulo parametrizan las coordenadas en el toro.
Las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld , utilizadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del advenimiento de la mecánica ondulatoria , establecen que la acción debe ser un múltiplo integral de la constante de Planck ; De manera similar, la comprensión de Einstein sobre la cuantificación de EBK y la dificultad de cuantificar sistemas no integrables se expresó en términos de toros invariantes de coordenadas de ángulos de acción.
Las coordenadas del ángulo de acción también son útiles en la teoría de perturbaciones de la mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con un pequeño número de grados de libertad, es el teorema KAM , que establece que los toros invariantes son estables bajo pequeñas perturbaciones.
El uso de variables de ángulo de acción fue fundamental para la solución de la red de Toda , y para la definición de pares Lax , o más generalmente, la idea de la evolución isoespectral de un sistema.
Derivación
Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton ( no es la función principal de Hamilton). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano es simplemente el viejo hamiltoniano expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como(los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados. No necesitaremos resolver aquí para la función generadorasí mismo; en cambio, lo usaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas .
En lugar de definir los ángulos de acción directamente, definimos en cambio sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original
donde la ruta de integración está implícitamente dada por la función de energía constante . Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas
donde el están dados por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2
Por lo tanto, el nuevo hamiltoniano depende solo de los nuevos momentos generalizados .
La dinámica de los ángulos de acción viene dada por las ecuaciones de Hamilton
El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los son). Por tanto, la solución viene dada por
dónde es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período, el ángulo de acción correspondiente cambios por .
Estas son las frecuencias de oscilación / rotación para las coordenadas generalizadas originales . Para mostrar esto, integramos el cambio neto en el ángulo de acciónsobre exactamente una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas
Establecer las dos expresiones para igual, obtenemos la ecuación deseada
Los ángulos de acción son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Así, en el caso general, cada coordenada generalizada originalse puede expresar como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción
dónde es el coeficiente de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos prácticos, sin embargo, una coordenada generalizada originalserá expresable como una serie de Fourier solo en sus propios ángulos de acción
Resumen del protocolo básico
El procedimiento general tiene tres pasos:
- Calcule los nuevos momentos generalizados
- Exprese el hamiltoniano original enteramente en términos de estas variables.
- Tome las derivadas del hamiltoniano con respecto a estos momentos para obtener las frecuencias
Degeneración
En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir, por . En tales casos, el movimiento se llama degenerado .
El movimiento degenerado indica que hay cantidades conservadas generales adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler están degeneradas, lo que corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .
El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; Por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable en ambas coordenadas esféricas y coordenadas parabólicas .
Ver también
- Sistema integrable
- Una forma tautológica
- Sistema hamiltoniano superintegrable
- Método de Einstein-Brillouin-Keller
Referencias
- LD Landau y EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) y ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).
- H. Goldstein, (1980) Mecánica clásica , 2do. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
- G. Sardanashntly , (2015) Manual de sistemas hamiltonianos integrables , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
- Previato, Emma (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0