Arreglo de hiperplanos
En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio lineal , afín o proyectivo S. Las preguntas sobre una disposición de hiperplanos A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas o de otro tipo del complemento M ( A ) , que es el conjunto que queda cuando se eliminan los hiperplanos de todo el espacio. Cabría preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición semiretícula y su intersección. Elsemirretículo de intersección de A , escrito L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios están S mismo, todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío). Estos subespacios de intersección de A también se denominan planos de A. La semirretícula de intersección L ( A ) está parcialmente ordenada por inclusión inversa .
Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; tal disposición a menudo se denomina disposición de líneas . Históricamente, los arreglos reales de líneas fueron los primeros arreglos investigados. Si S es tridimensional, tiene una disposición de planos .
La semired de intersección L ( A ) es una semired de encuentro y más concretamente es una semired geométrica . Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no está vacía, la red de intersección es una red geométrica . (Esta es la razón por la que la semired debe ordenarse por inclusión inversa, en lugar de por inclusión, lo que podría parecer más natural pero no produciría una (semi)red geométrica).
Cuando L ( A ) es una red, la matroide de A , escrita M ( A ), tiene A como conjunto base y tiene función de rango r ( S ) := codim( I ), donde S es cualquier subconjunto de A e I es la intersección de los hiperplanos en S . En general, cuando L ( A ) es una semired, existe una estructura similar a una matroide análoga llamada semimatroide, que es una generalización de una matroide (y tiene la misma relación con la intersección de la semired que la matroide con la red en el caso de la red), pero no es una matroide si L ( A ) no es una red.
Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ) := la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B está vacío. El polinomio característico de A , escrito p A ( y ), se puede definir por
sumados sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección está vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como −1). Este polinomio ayuda a resolver algunas preguntas básicas; vea abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio del número de Whitney w A ( x , y ), definido por
