Teorema de aproximación de Artin
En matemáticas , el teorema de aproximación de Artin es un resultado fundamental de Michael Artin ( 1969 ) en la teoría de la deformación que implica que las series de potencias formales con coeficientes en un campo k están bien aproximadas por las funciones algebraicas en k .
Más precisamente, Artin demostró dos de estos teoremas: uno, en 1968, sobre la aproximación de soluciones analíticas complejas mediante soluciones formales (en el caso ); y una versión algebraica de este teorema en 1969.
Denotemos una colección de n indeterminados , el anillo de series formales de potencia con indeterminados sobre un campo k , y un conjunto diferente de indeterminados. Dejar
![{\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d65b542a1a24f34a921dac394d502d48ea3ff61)
sea un sistema de ecuaciones polinómicas en , yc un entero positivo . Luego, dada una solución formal en serie de potencias , existe una solución algebraica que consta de funciones algebraicas (más precisamente, series de potencias algebraicas) tales que
![{\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51ea2d1b2a983e591c2bb19add98f879d81aec0)
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2f105ed93b4721e5c08ffe1fc06bb57ecdcca5)
Dado cualquier entero positivo deseado c , este teorema muestra que se puede encontrar una solución algebraica que se aproxime a una solución formal en serie de potencias hasta el grado especificado por c . Esto conduce a teoremas que deducen la existencia de ciertos módulos formales de espacios de deformaciones como esquemas . Ver también: Criterio de Artin .
Sea un campo o un excelente anillo de valoración discreta, sea la henselización de un -álgebra de tipo finito en un ideal primo, sea m un ideal propio de , sea la terminación m -ádica de , y sea
