En matemáticas, un anillo de Henselian (o anillo de Hensel ) es un anillo local en el que se mantiene el lema de Hensel . Fueron presentados por Azumaya (1951) , quien los nombró en honor a Kurt Hensel . Azumaya originalmente permitía que los anillos henselianos no fueran conmutativos, pero la mayoría de los autores ahora los restringen para que sean conmutativos.
Algunas referencias estándar para los anillos de Hensel son ( Nagata 1962 , Capítulo VII) , ( Raynaud 1970 ) y ( Grothendieck 1967 , Capítulo 18).
Definiciones
En este artículo se asumirá que los anillos son conmutativos, aunque también existe una teoría de los anillos henselianos no conmutativos.
Un anillo local R con ideal máximo m se llama henseliano si se cumple el lema de Hensel. Esto significa que si P es un polinomio mónico en R [ x ], entonces cualquier factorización de su imagen P en ( R / m ) [ x ] en un producto de polinomios mónicos coprimidos puede elevarse a una factorización en R [ x ].
Un anillo local es henseliano si y solo si cada extensión de anillo finita es producto de anillos locales.
Un anillo local henseliano se llama estrictamente henseliano si su campo de residuos está cerrado separadamente .
Se dice que un campo con valoración es henseliano si su anillo de valoración es henseliano.
Un anillo se llama henseliano si es un producto directo de un número finito de anillos locales henselianos.
Anillos henselianos en geometría algebraica
Los anillos de Henselian son los anillos locales de "puntos" con respecto a la topología de Nisnevich , por lo que los espectros de estos anillos no admiten cubiertas conectadas no triviales con respecto a la topología de Nisnevich. Asimismo, los anillos henselianos estrictos son los anillos locales de puntos geométricos en la topología étale .
Henselización
Para cualquier anillo local A hay un anillo universal de Henselian B generada por A , llamado el Henselization de A , introducido por Nagata (1953) , de manera que cualquier homomorfismo local desde A a un anillo Henselian se puede extender de forma única a B . La henselización de A es única hasta un isomorfismo único. El Henselization de A es un sustituto algebraica para la realización de una . El Henselization de A tiene la misma terminación y campo residuo como A y es un módulo de plano sobre A . Si A es noetheriano, reducido, normal, regular o excelente, entonces también lo es su Henselización. Por ejemplo, la Henselización del anillo de polinomios k [ x , y , ...] localizado en el punto (0,0, ...) es el anillo de series de potencias formales algebraicas (la serie de potencias formales que satisface una ecuación algebraica ). Esto se puede considerar como la parte "algebraica" de la terminación.
Del mismo modo hay un anillo estrictamente Henselian generada por A , llamado el estricto Henselization de A . La henselización estricta no es del todo universal: es única, pero solo hasta un isomorfismo no único . Más precisamente, depende de la elección de un cierre algebraico separable del campo de residuos de A , y los automorfismos de este cierre algebraico separable corresponden a automorfismos de la correspondiente Henselización estricta. Por ejemplo, un Henselization estricto del campo de la p números -adic está dado por la extensión unramified máxima, generado por todas las raíces de la unidad de primer orden a p . No es "universal" ya que tiene automorfismos no triviales.
Ejemplos de
- Cada campo es un anillo local henseliano.
- Los anillos locales completos de hausdorff , como el anillo de enteros p-ádicos y los anillos de series formales de poder sobre un campo, son henselianos.
- Los anillos de series de potencia convergente sobre los números reales o complejos son henselianos.
- Los anillos de series de potencias algebraicas sobre un campo son henselianos.
- Un anillo local que es integral sobre un anillo henseliano es henseliano.
- La henselización de un anillo local es un anillo local henseliano.
- Cada cociente de un anillo henseliano es henseliano.
- Un anillo A es henseliano si y solo si el anillo reducido asociado A rojo es henseliano (este es el cociente de A por el ideal de elementos nilpotentes ).
- Si A tiene solo un ideal primo, entonces es henseliano ya que A rojo es un campo.
Referencias
- Azumaya, Gorô (1951), "Sobre álgebras centrales máximas". , Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , MR 0040287
- Danilov, VI (2001) [1994], "Anillo de Hensel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Grothendieck, Alexandre (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi : 10.1007 / BF02732123
- Kurke, H .; Pfister, G .; Roczen, M. (1975), Henselsche Ringe und algebraische Geometrie , Mathematische Monographien, II , Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , MR 0491694
- Nagata, Masayoshi (1953), "Sobre la teoría de los anillos henselianos" , Nagoya Mathematical Journal , 5 : 45–57, doi : 10.1017 / s0027763000015439 , ISSN 0027-7630 , MR 0051821
- Nagata, Masayoshi (1954), "Sobre la teoría de los anillos henselianos. II" , Nagoya Mathematical Journal , 7 : 1–19, doi : 10.1017 / s002776300001802x , ISSN 0027-7630 , MR 0067865
- Nagata, Masayoshi (1959), "Sobre la teoría de los anillos henselianos. III" , Memorias de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Kyoto. Serie A: Matemáticas , 32 : 93–101, doi : 10.1215 / kjm / 1250776700 , MR 0109835
- Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 (reimpresión ed.), Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, págs. Xiii + 234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856
- Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, 169 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, pp. V + 129, doi : 10.1007 / BFb0069571 , ISBN 978-3-540-05283-8, MR 0277519