En matemáticas , la exponencial de Artin-Hasse , introducida por Artin y Hasse ( 1928 ), es la serie de potencias dada por
Motivación
Una motivación para considerar que esta serie es análoga a la función exponencial proviene de productos infinitos. En el anillo de la serie de poder formal Q [[ x ]] tenemos la identidad
donde μ (n) es la función de Möbius . Esta identidad se puede verificar mostrando que la derivada logarítmica de los dos lados es igual y que ambos lados tienen el mismo término constante. De manera similar, se puede verificar una expansión de producto para el exponencial Artin-Hasse:
Así que pasa de un producto durante toda n de un producto únicamente sobre n privilegiada para p , que es una operación típica de p análisis -adic, clientes potenciales de e x a E p ( x ).
Propiedades
Los coeficientes de E p ( x ) son racionales. Podemos usar cualquiera de las fórmulas para E p ( x ) para demostrar que, a diferencia de e x , todos sus coeficientes son p -integrales; en otras palabras, los denominadores de los coeficientes de E p ( x ) no son divisibles por p . Una primera demostración usa la definición de E p ( x ) y el lema de Dwork , que dice que una serie de potencias f ( x ) = 1 + ... con coeficientes racionales tiene p -coeficientes integrales si y solo si f ( x p ) / f ( x ) p ≡ 1 mod p Z p [[ x ]]. Cuando f ( x ) = E p ( x ), tenemos f ( x p ) / f ( x ) p = e - px , cuyo término constante es 1 y todos los coeficientes más altos están en p Z p . Una segunda prueba proviene del producto infinito de E p ( x ): cada exponente -μ ( n ) / n para n no divisible por p es un p -integral, y cuando un número racional a es p -integral todos los coeficientes en el expansión binomial de (1 - x n ) a son p -integral por p -continuidad ádica de los polinomios del coeficiente binomial t ( t -1) ... ( t - k +1) / k ! en t junto con su integralidad obvia cuando t es un número entero no negativo ( a es un límite p -ádico de números enteros no negativos). Por lo tanto, cada factor en el producto de E p ( x ) tiene p- coeficientes integrales, por lo que E p ( x ) en sí mismo tiene p- coeficientes integrales.
La expansión de la serie ( p -integral) tiene un radio de convergencia 1.
Interpretación combinatoria
La exponencial de Artin-Hasse es la función generadora de la probabilidad de que un elemento de S n (el grupo simétrico con n elementos) seleccionado de manera uniforme y aleatoria tenga un orden de potencia p (cuyo número se denota por t p, n ):
Esto da una tercera prueba de que los coeficientes de E p ( x ) son p -integrales, utilizando el teorema de Frobenius de que en un grupo finito de orden divisible por d el número de elementos de orden que dividen d también es divisible por d . Aplique este teorema al n- ésimo grupo simétrico con d igual a la mayor potencia de p dividiendo n !.
De manera más general, para cualquier grupo profinito G generado topológicamente de forma finita existe una identidad
donde H corre sobre subgrupos abiertos de G con índice finito (hay un número finito de cada índice ya que G se genera topológicamente de manera finita) y a G, n es el número de homomorfismos continuos de G a S n . Vale la pena señalar dos casos especiales. (1) Si G son los enteros p -ádicos, tiene exactamente un subgrupo abierto de cada índice de potencia p y un homomorfismo continuo de G a S n es esencialmente lo mismo que elegir un elemento de orden de potencia p en S n , por lo que hemos recuperado la interpretación combinatoria anterior de los coeficientes de Taylor en la serie exponencial de Artin-Hasse. (2) Si G es un grupo finito, entonces la suma exponencial es una suma finita que abarca todos los subgrupos de G , y los homomorfismos continuos de G a S n son simplemente homomorfismos de G a S n . El resultado en este caso se debe a Wohlfahrt (1977). El caso especial en el que G es un grupo cíclico finito se debe a Chowla, Herstein y Scott (1952), y toma la forma
donde a m, n es el número de soluciones de g m = 1 en S n .
David Roberts proporcionó un vínculo combinatorio natural entre el exponencial Artin-Hasse y el exponencial regular en el espíritu de la perspectiva ergódica (vinculando las normas p -ádicas y regulares sobre las racionales) al mostrar que el exponencial Artin-Hasse es también la función generadora para la probabilidad de que un elemento del grupo simétrico sea unipotente en la característica p , mientras que el exponencial regular es la probabilidad de que un elemento del mismo grupo sea unipotente en la característica cero. [ cita requerida ]
Conjeturas
En el programa PROMYS de 2002 , Keith Conrad conjeturó que los coeficientes dese distribuyen uniformemente en los enteros p-ádicos con respecto a la medida de Haar normalizada, con evidencia computacional de apoyo. El problema sigue abierto.
Dinesh Thakur también ha planteado el problema de si el mod p reducido exponencial de Artin-Hasse es trascendental sobre.
Ver también
Referencias
- Artin, E .; Hasse, H. (1928), "Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der ln-ten Potenzreste im Körper der ln-ten Einheitswurzeln", Abhandlungen Hamburg , 6 : 146-162, JFM 54.0191.05
- Un curso de análisis p-ádico , por Alain M. Robert
- Fesenko, Ivan B .; Vostokov, Sergei V. (2002), Campos locales y sus extensiones , Traducciones de monografías matemáticas, 121 (Segunda ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2, Señor 1915966