En matemáticas , un elemento unipotente r de un anillo R es uno tal que r - 1 es un elemento nilpotente ; en otras palabras, ( r - 1) n es cero para algunos n .
En particular, una matriz cuadrada , M , es una matriz unipotente , si y solo si su polinomio característico , P ( t ), es una potencia de t - 1. Por tanto, todos los valores propios de una matriz unipotente son 1.
El término cuasi-unipotente significa que alguna potencia es unipotente, por ejemplo, para una matriz diagonalizable con valores propios que son todas raíces de unidad .
En un grupo algebraico afín unipotente , todos los elementos son unipotentes (ver más abajo la definición de un elemento que es unipotente en dicho grupo).
Definición
Definición con matrices
Considere el grupo de matrices triangulares superiores con está a lo largo de la diagonal, por lo que son el grupo de matrices [1]
Entonces, un grupo unipotente puede definirse como un subgrupo de algunos. Usando la teoría de esquemas el grupo se puede definir como el esquema de grupo
y un esquema de grupo afín es unipotente si es un esquema de grupo cerrado de este esquema.
Definición con teoría de anillos
Un elemento, x , de un grupo algebraico afín es unipotente cuando su operador de traducción derecho asociado, r x , en el anillo de coordenadas afines A [ G ] de G es localmente unipotente como un elemento del anillo de endomorfismo lineal de A [ G ] . (Localmente unipotente significa que su restricción a cualquier subespacio estable de dimensión finita de A [ G ] es unipotente en el sentido de anillo habitual).
Un grupo algebraico afín se llama unipotente si todos sus elementos son unipotentes. Cualquier grupo algebraico unipotente es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores con entradas diagonales 1 y, a la inversa, cualquier subgrupo de este tipo es unipotente. En particular, cualquier grupo unipotente es un grupo nilpotente , aunque lo contrario no es cierto (contraejemplo: las matrices diagonales de GL n ( k )).
Por ejemplo, la representación estándar de en con base estándar tiene el vector fijo .
Definición con teoría de la representación
Si un grupo unipotente actúa sobre una variedad afín, todas sus órbitas están cerradas, y si actúa linealmente sobre un espacio vectorial de dimensión finita, entonces tiene un vector fijo distinto de cero. De hecho, esta última propiedad caracteriza a los grupos unipotentes. [1] En particular, esto implica que no hay representaciones semisimples no triviales .
Ejemplos de
U n
Por supuesto, el grupo de matrices es unipotente. Uso de la serie central inferior
dónde
y
hay grupos unipotentes asociados. Por ejemplo, en, la serie central son los grupos de matrices
, , , y
dados algunos ejemplos inducidos de grupos unipotentes.
G a n
El grupo de aditivos es un grupo unipotente a través de la incrustación
Observe que la multiplicación de matrices da
por lo tanto, se trata de una integración de grupo. De manera más general, hay una incrustación del mapa
Usando la teoría de esquemas, está dado por el funtor
dónde
Núcleo del Frobenius
Considere el functor en la subcategoría , existe el subfunctor dónde
por lo que está dado por el núcleo del endomorfismo de Frobenius .
Clasificación de grupos unipotentes sobre característica 0
Sobre característico hay una buena clasificación de grupos algebraicos unipotentes con respecto a álgebras de mentiras nilpotentes . Recuerde que un álgebra de mentiras nilpotente es una subálgebra de algunosde modo que la acción adjunta iterada finalmente termina en el mapa cero. En términos de matrices, esto significa que es una subálgebra. de , las matrices con por .
Entonces, hay una equivalencia de categorías de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión finita y grupos algebraicos unipotentes [1] página 261 . Esto se puede construir usando la serie Baker – Campbell – Hausdorff. , donde dada un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita, el mapa
da una estructura de grupo algebraica unipotente en .
En la otra dirección, el mapa exponencial lleva cualquier matriz cuadrada nilpotente a una matriz unipotente. Además, si U es un grupo unipotente conmutativo, el mapa exponencial induce un isomorfismo del álgebra de Lie de U a la propia U.
Observaciones
Los grupos unipotentes sobre un campo algebraicamente cerrado de cualquier dimensión dada pueden, en principio, ser clasificados, pero en la práctica la complejidad de la clasificación aumenta muy rápidamente con la dimensión, así que la gente [ ¿quién? ] tienden a rendirse en algún lugar alrededor de la dimensión 6.
Radical unipotente
El radical unipotente de un grupo algebraico G es el conjunto de elementos unipotentes en el radical de G . Es un subgrupo normal unipotente conectado de G , y contiene todos los demás subgrupos. Un grupo se llama reductivo si su radical unipotente es trivial. Si G es reductivo, entonces su radical es un toro.
Descomposición de grupos algebraicos
Los grupos algebraicos se pueden descomponer en grupos unipotentes, grupos multiplicativos y variedades abelianas, pero el enunciado de cómo se descomponen depende de la característica de su campo base.
Característica 0
Sobre característico hay un buen teorema de descomposición de un grupo algebraico relacionando su estructura con la estructura de un grupo algebraico lineal y una variedad abeliana . Hay una breve secuencia exacta de grupos [2] página 8
dónde es una variedad abeliana, es de tipo multiplicativo, significado y es un grupo unipotente.
Característica p
Cuando la característica del campo base es hay un enunciado análogo [2] para un grupo algebraico: existe un subgrupo más pequeño tal que
- es un grupo unipotente
- es una extensión de una variedad abeliana por un grupo de tipo multiplicativo.
- es único hasta la Conmensurabilidad en y es único hasta Isogeny .
Descomposición de Jordan
Cualquier elemento g de un grupo algebraico lineal en un campo perfecto se puede escribir de forma única como el producto g = g u g s de conmutar unipotent y semisimples elementos g u y g s . En el caso del grupo GL n ( C ), esto esencialmente dice que cualquier matriz compleja invertible se conjuga al producto de una matriz diagonal y una triangular superior, que es (más o menos) la versión multiplicativa de Jordan-Chevalley. descomposición .
También hay una versión de la descomposición de Jordan para grupos: cualquier grupo algebraico lineal conmutativo sobre un campo perfecto es el producto de un grupo unipotente y un grupo semisimple.
Ver también
Referencias
- ^ a b c Milne, Grupos algebraicos lineales JS (PDF) . pp. 252-253, Grupos algebraicos unipotentes.
- ^ a b Brion, Michel (27 de septiembre de 2016). "Grupos algebraicos conmutativos hasta isogenia". arXiv : 1602.00222 [ math.AG ].
- A. Borel, grupos algebraicos lineales , ISBN 0-387-97370-2
- Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , Segunda serie, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307 / 1969949 , JSTOR 1969949
- Popov, VL (2001) [1994], "elemento unipotente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Popov, VL (2001) [1994], "grupo unipotente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Suprunenko, DA (2001) [1994], "matriz unipotente" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press