En álgebra, el lema Artin-Tate , que lleva el nombre de Emil Artin y John Tate , dice: [1]
- Sea A un anillo noetheriano conmutativo y conmutativos álgebra de más de A . Si C es de tipo finito sobre A y si C es finita sobre B , entonces B es de tipo finito sobre A .
(Aquí, "de tipo finito" significa " álgebra generada finitamente " y "finito" significa " módulo generado finitamente ".) El lema fue introducido por E. Artin y J. Tate en 1951 [2] para dar una prueba del Nullstellensatz de Hilbert .
El lema es similar al teorema de Eakin-Nagata , que dice: si C es finito sobre B y C es un anillo noetheriano, entonces B es un anillo noetheriano.
Prueba
La siguiente prueba se puede encontrar en Atiyah – MacDonald. [3] Deja generar como un -algebra y deja generar como un -módulo. Entonces podemos escribir
con . Luego es finito sobre el -álgebra generado por el . Usando eso y por lo tanto es Noetherian, también es finito sobre . Desde es un finitamente generado -álgebra, también es un finitamente generado -álgebra.
Noetherian necesario
Sin el supuesto de que A es noetheriano, el enunciado del lema de Artin-Tate ya no es cierto. De hecho, para cualquier anillo A no noetheriano podemos definir una estructura de álgebra A en declarando . Entonces para cualquier ideal que no se genera de forma finita, no es de tipo finito sobre A , pero se satisfacen todas las condiciones como en el lema.
Notas
- ^ Eisenbud , ejercicio 4.32
- ^ E Artin, JT Tate, "Una nota sobre extensiones de anillo finito", J. Math. Soc Japan, Volumen 3, 1951, págs. 74–77
- ^ Atiyah – MacDonald 1969 , Proposición 7.8
Referencias
- Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con una visión hacia la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
- M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5
enlaces externos
- http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma