En álgebra abstracta, el teorema de Eakin-Nagata establece: anillos conmutativos dados tal que se genera de forma finita como un módulo sobre, Si es un anillo noetheriano , entonceses un anillo noetheriano. [1] (Tenga en cuenta que lo contrario también es cierto y es más fácil).
El teorema es similar al lema de Artin-Tate , que dice que el mismo enunciado se cumple con "Noetheriano" reemplazado por " álgebra generada finitamente " (asumiendo que el anillo base es un anillo noetheriano).
El teorema fue probado por primera vez en la tesis de Paul M. Eakin ( Eakin 1968 ) y más tarde de forma independiente por Masayoshi Nagata ( 1968 ). [2] El teorema también puede deducirse de la caracterización de un anillo noetheriano en términos de módulos inyectivos , como lo hizo, por ejemplo, David Eisenbud en ( Eisenbud 1970 ); este enfoque es útil para una generalización a anillos no conmutativos .
Prueba
El siguiente resultado más general se debe a Edward W. Formanek y está probado por un argumento basado en las pruebas originales de Eakin y Nagata. Según ( Matsumura 1989 ), esta formulación es probablemente la más transparente.
Teorema - [3] Sea ser un anillo conmutativo y un fiel módulo finamente generado sobre él. Si la condición de cadena ascendente se mantiene en los submódulos del formulario por ideales , luego es un anillo noetheriano.
Prueba : basta con demostrar quees un módulo noetheriano ya que, en general, un anillo que admite un módulo noetheriano fiel sobre él es un anillo noetheriano. [4] Supongamos lo contrario. Por supuesto, el conjunto de todos, dónde es un ideal de tal que no es noetheriano tiene un elemento máximo, . Reemplazo y por y , podemos asumir
- para cada ideal distinto de cero , el módulo es Noetherian.
A continuación, considere el conjunto de submódulos tal que es fiel. Elija un conjunto de generadores de y luego nota que es fiel si y solo si para cada , la inclusión implica . Por tanto, está claro que el lema de Zorn se aplica al conjunto, por lo que el conjunto tiene un elemento máximo, . Ahora sies noetheriano, entonces es un módulo noetheriano fiel sobre A y, en consecuencia, A es un anillo noetheriano, una contradicción. Por eso, no es Noetherian y reemplaza por , también podemos asumir
- cada submódulo distinto de cero es tal que no es fiel.
Deje que un submódulo ser dado. Desde no es fiel, hay un elemento distinto de cero tal que . Por suposición, es Noetherian y entonces se genera de forma finita. Desde también se genera finitamente, se sigue que se genera finitamente; es decir, es noetheriano, una contradicción.
Referencias
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 3.7. (I)
- ^ Matsumura 1989 , una observación después del teorema 3.7.
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 3.6.
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 3.5.
- Eakin, Paul M., Jr. (1968), "Lo contrario a un teorema bien conocido sobre los anillos noetherianos", Mathematische Annalen , 177 (4): 278-282, doi : 10.1007 / bf01350720 , MR 0225767
- Nagata, Masayoshi (1968), "Un tipo de subanillos de un anillo noetheriano", Journal of Mathematics of Kyoto University , 8 (3): 465–467, doi : 10.1215 / kjm / 1250524062 , MR 0236162
- Eisenbud, David (1970), "Subanillos de anillos artinianos y noetherianos", Mathematische Annalen , 185 (3): 247–249, doi : 10.1007 / bf01350264 , MR 0262275
- Formanek, Edward ; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), "Subrings of Noetherian rings", Proceedings of the American Mathematical Society , 46 (2): 181–181, doi : 10.1090 / s0002-9939-1974-0414625-5 , MR 0414625
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461
Otras lecturas
- Math StackExchange - Ejercicio de los anillos conmutativos de Kaplansky y el teorema de Eakin-Nagata