En matemáticas , un álgebra generada finitamente (también llamada álgebra de tipo finito ) es un álgebra asociativa conmutativa A sobre un campo K donde existe un conjunto finito de elementos a 1 , ..., a n de A tal que cada elemento de a se puede expresar como un polinomio en un 1 , ..., un n , con coeficientes en K .
De manera equivalente, existen elementos st el homomorfismo de evaluación en
es sobreyectiva; así, aplicando el primer teorema del isomorfismo.
En cambio, para cualquier ideal es un -algebra de tipo finito, de hecho cualquier elemento de es un polinomio en las clases laterales con coeficientes en . Por tanto, obtenemos la siguiente caracterización de generados finitamente-álgebras [1]
- es un finitamente generado -álgebra si y solo si es isomorfo a un anillo cociente del tipo por un ideal .
Si es necesario hacer hincapié en el campo K entonces se dice que es finito generado el álgebra sobre K . Las álgebras que no se generan de forma finita se denominan generadas infinitamente .
Ejemplos de
- El álgebra polinomial K [ x 1 , ..., x n ] se genera de forma finita. El álgebra polinomio en el infinito numerable de los generadores se genera infinitamente.
- El campo E = K ( t ) de funciones racionales en una variable sobre un campo infinito K es no un álgebra finitamente generado sobre K . Por otro lado, E se genera sobre K por un solo elemento, t , como un campo .
- Si E / F es una extensión campo finito entonces se deduce a partir de las definiciones que E es un álgebra finitamente generado sobre F .
- Por el contrario, si E / F es una extensión de campo y E es un álgebra generada finitamente sobre F, entonces la extensión de campo es finita. Esto se llama lema de Zariski . Ver también extensión integral .
- Si G es un grupo finito entonces el anillo de grupo KG es un álgebra finitamente generado sobre K .
Propiedades
- Una imagen homomórfica de un álgebra generada de forma finita se genera en sí misma de forma finita. Sin embargo, una propiedad similar para las subálgebras no se mantiene en general.
- Teorema de la base de Hilbert : si A es un álgebra conmutativa generada de forma finita sobre un anillo noetheriano, entonces cada ideal de A se genera de forma finita o, de manera equivalente, A es un anillo noetheriano .
Relación con variedades afines
Las álgebras conmutativas reducidas finamente generadas son objetos básicos de consideración en la geometría algebraica moderna , donde corresponden a variedades algebraicas afines ; por esta razón, estas álgebras también se conocen como álgebras afines (conmutativas) . Más precisamente, dado un conjunto algebraico afín podemos asociar un generado finitamente -álgebra
llamado anillo de coordenadas afines de ; además, si es un mapa regular entre los conjuntos algebraicos afines y , podemos definir un homomorfismo de -álgebras
luego, es un funtor contravariante de la categoría de conjuntos algebraicos afines con mapas regulares a la categoría de reducidos generados finitamente-álgebras: este functor resulta [2] ser una equivalencia de categorías
y, restringiendo a variedades afines (es decir, conjuntos algebraicos afines irreductibles ),
Álgebras finitas vs álgebras de tipo finito
Recordamos que un conmutativo - álgebra es un homomorfismo de anillo ; la-estructura del módulo de es definido por
Un -álgebra es finito si se genera finitamente como un-módulo, es decir, hay un homomorfismo sobreyectivo de -módulos
Nuevamente, hay una caracterización de álgebras finitas en términos de cocientes [3]
- Un -álgebra es finito si y solo si es isomorfo a un cociente Por una -submódulo .
Por definición, un finito -algebra es de tipo finito, pero lo inverso es falso: el anillo polinomial es de tipo finito pero no finito.
Las álgebras finitas y las álgebras de tipo finito están relacionadas con las nociones de morfismos finitos y morfismos de tipo finito .
Referencias
- ^ Kemper, Gregor (2009). Un curso de álgebra conmutativa . Saltador. pag. 8. ISBN 978-3-642-03545-6.
- ^ Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten (2010). Geometría algebraica I. Esquemas con ejemplos y ejercicios . Saltador. pag. 19. ISBN 978-3-8348-0676-5.
- ^ Atiyah, Michael Francis; MacDonald, Ian Grant (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Prensa CRC. pag. 21. ISBN 9780201407518.
Ver también
- Módulo generado finamente
- Extensión de campo finamente generada
- Lema de Artin-Tate
- Álgebra finita
- Morfismos de tipo finito