Director de Artin

En matemáticas , el director de Artin es un número o ideal asociado a un personaje de un grupo de Galois de un campo local o global , introducido por Emil Artin  ( 1930 , 1931 ) como una expresión que aparece en la ecuación funcional de una función L de Artin .

Conductores locales de Artin

Suponga que L es una extensión de Galois finita del campo local K , con el grupo G de Galois . Si es un carácter de G , entonces el director de Artin de es el número${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i}))}$

donde G _i es el i -ésimo grupo de ramificación (en numeración más baja ), de orden g _i , y χ ( G _i ) es el valor promedio de en G _i . ^[1] Por resultado de Artin, el director local es un número entero. ^{[2] [3]} Heurísticamente, el director de Artin mide qué tan lejos está la acción de los grupos de ramificación superiores de ser trivial. En particular, si χ no está ramificado, entonces su conductor Artin es cero. Por tanto, si L no está ramificado sobre K , entonces los conductores de Artin de todos χ son cero.${\displaystyle \chi }$

El invariante salvaje ^[3] o el conductor del cisne ^[4] del personaje es

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),}$

en otras palabras, la suma de los términos de orden superior con i > 0.

Directores de Global Artin

El director Artin global de una representación del grupo G de Galois de una extensión finita L / K de campos globales es un ideal de K , definido como${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}$

donde el producto está sobre los primos p de K , yf (χ, p ) es el conductor de Artin local de la restricción de al grupo de descomposición de algún primo de L que se encuentra sobre p . ^[2] Dado que el conductor Artin local es cero en números primos unramified, el producto anterior sólo tiene que ser asumida números primos que se ramifican en L / K .${\displaystyle \chi }$

Representación de Artin y personaje de Artin

Más información: módulo de Galois § Representaciones de Artin

Suponga que L es una extensión de Galois finita del campo local K , con el grupo G de Galois  . El personaje de Artin una _G de G es el personaje

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

y la representación de Artin A _G es la representación lineal compleja de G con este carácter. Weil (1946) pidió una construcción directa de la representación de Artin. Serre ( 1960 ) mostró que la representación de Artin se puede realizar sobre el campo local Q _l , para cualquier primo l que no sea igual a la característica del residuo p . Fontaine (1971) mostró que se puede realizar sobre el anillo correspondiente de vectores de Witt. En general, no puede realizarse sobre los racionales o sobre el campo local Q _p, lo que sugiere que no hay una manera fácil de construir explícitamente la representación de Artin. ^[5]

Representación cisne

El carácter Swan sw _G viene dado por

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

donde r _g es el carácter de la representación regular y 1 es el carácter de la representación trivial. ^[6] carácter The Swan es el carácter de una representación de G . Swan  ( 1963 ) demostró que existe una representación proyectiva única de G sobre los enteros l -ádicos con carácter del carácter Swan.

Aplicaciones

El conductor de Artin aparece en la fórmula conductor-discriminante para el discriminante de un campo global. ^[5]

El nivel óptimo en la conjetura de modularidad de Serre se expresa en términos del director Artin.

El director de Artin aparece en la ecuación funcional de la función L de Artin .

Las representaciones de Artin y Swan se utilizan para definir el conductor de una curva elíptica o variedad abeliana.

Notas

1. Serre (1967) p.158
2. Serre (1967) p.159
3. Manin, Yu. I.; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). pag. 329. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396 .
4. Snaith (1994) p.249
5. Serre (1967) p.160
6. Snaith (1994) p.248

Referencias

• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (en alemán), 8 : 292–306, doi : 10.1007 / BF02941010 , JFM  56.0173.02 , S2CID  120987633
• Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1931 (164): 1–11, doi : 10.1515 / crll.1931.164.1 , ISSN  0075-4102 , S2CID  117731518 , Zbl  0001.00801
• Fontaine, Jean-Marc (1971), "Sur les représentations d'Artin", Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1969) , Mémoires de la Société Mathématique de France, 25 , París: Société Mathématique de France , págs. 71–81, MR  0374106
• Serre, Jean-Pierre (1960), "Sur la racionalité des représentations d'Artin", Annals of Mathematics , Second Series, 72 (2): 405–420, doi : 10.2307 / 1970142 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970142 , Señor  0171775
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Teoría del campo de clases locales", en Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.), Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia de instrucción organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional , Londres: Academic Press, págs. 128-161, Zbl  0153.07403
• Snaith, VP (1994), Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 40 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, Zbl  0991.20005
• Swan, Richard G. (1963), "El anillo de Grothendieck de un grupo finito", Topología , 2 (1-2): 85-110, doi : 10.1016 / 0040-9383 (63) 90025-9 , ISSN  0040-9383 , MR  0153722
• Weil, André (1946), "L'avenir des mathématiques", Bol. Soc. Estera. São Paulo , 1 : 55–68, MR  0020961