¿Todas las secuencias de alícuotas terminan eventualmente con un número primo, un número perfecto o un conjunto de números amistosos o sociables? (Conjetura de la secuencia de alícuotas de Catalán)
En matemáticas , una secuencia de alícuotas es una secuencia de números enteros no negativos en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Si la secuencia llega al número 0, termina, ya que 0 tiene infinitos divisores.
La secuencia de alícuotas que comienza con un entero positivo k se puede definir formalmente en términos de la función de suma de divisores σ 1 o la función de suma de alícuotas s de la siguiente manera: [1]
Muchas secuencias de alícuotas terminan en 0, todas esas secuencias necesariamente terminan con un número primo seguido de 1 (ya que el único divisor propio de un primo es 1), seguido de 0 (ya que 1 no tiene divisores propios). Consulte (secuencia A080907 en la OEIS ) para obtener una lista de dichos números hasta 75. Hay una variedad de formas en las que una secuencia de alícuotas puede no terminar:
Los números cuya secuencia de alícuotas se sabe que terminan en un número perfecto , además de los números perfectos en sí mismos (6, 28, 496, ...), son
Una conjetura importante debida al catalán , a veces llamada conjetura catalán - Dickson , es que cada secuencia de alícuotas termina de una de las formas anteriores: con un número primo, un número perfecto o un conjunto de números amistosos o sociables. [3] La alternativa sería que exista un número cuya secuencia de alícuotas sea infinita pero que nunca se repita. Cualquiera de los muchos números cuyas secuencias de alícuotas no se han determinado completamente podría ser ese número. Los primeros cinco números candidatos a menudo se denominan cinco de Lehmer (nombrados en honor a DH Lehmer ): 276 , 552, 564, 660 y 966. [4]Sin embargo, vale la pena señalar que 276 puede alcanzar un ápice alto en su secuencia de alícuotas y luego descender; el número 138 alcanza un pico de 179931895322 antes de volver a 1.