Familia asociada

Animación que muestra la deformación de un helicoide en un catenoide a medida que θ cambia.

En geometría diferencial , la familia asociada (o familia Bonnet ) de una superficie mínima es una familia de un parámetro de superficies mínimas que comparten los mismos datos de Weierstrass . Es decir, si la superficie tiene la representación

${\displaystyle x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

la familia es descrita por

${\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}$

Para θ  =  π / 2, la superficie se llama conjugado de la  superficie θ = 0. ^[1]

La transformación puede verse como una rotación local de las principales direcciones de curvatura . Las normales de superficie de un punto con un ζ fijo permanecen sin cambios a medida que θ cambia; el punto en sí se mueve a lo largo de una elipse.

Algunos ejemplos de familias de superficies asociadas son: la familia catenoide y helicoide , la familia Schwarz P , Schwarz D y giroide , y la primera y segunda familia de superficies de Scherk . La superficie de Enneper se conjuga consigo misma: se deja invariante a medida que θ cambia.

Las superficies conjugadas tienen la propiedad de que cualquier línea recta en una superficie se asigna a una geodésica plana en su superficie conjugada y viceversa. Si un parche de una superficie está delimitado por una línea recta, entonces el parche conjugado está delimitado por una línea de simetría plana. Esto es útil para construir superficies mínimas yendo al espacio conjugado: estar limitado por planos equivale a estar limitado por un polígono. ^[2]

Hay contrapartes de las familias asociadas de superficies mínimas en espacios y variedades de dimensiones superiores. ^[3]

Referencias

1. Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, in Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, 25 de junio-27 de julio de 2001. American Mathematical Soc ., 2005 [1]
2. Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construcción de superficies mínimas triples periódicas", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 de septiembre de 1996 vol. 354 no. 1715 2077–2104 [2]
3. J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3]