En matemáticas , la parametrización de superficies mínimas de Weierstrass-Enneper es una pieza clásica de geometría diferencial .
Alfred Enneper y Karl Weierstrass estudiaron superficies mínimas desde 1863.
Sean f y g funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde g es meromórfico y f es analítico , de manera que donde g tiene un polo de orden m , f tiene un cero de orden 2 m (o equivalentemente, tal que el producto ƒ g 2 es holomorfo ), y sean c 1 , c 2 , c 3 constantes. Entonces la superficie con coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3) es mínima, donde x k se definen utilizando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:
Lo contrario también es cierto: cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conectado puede recibir una parametrización de este tipo. [1]
Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene ƒ ( z ) = 1, g ( z ) = z ^ m .
Superficie paramétrica de variables complejas
El modelo Weierstrass-Enneper define una superficie mínima () en un plano complejo (). Dejar (el plano complejo como el espacio), escribimos la matriz jacobiana de la superficie como una columna de entradas complejas:
Dónde y son funciones holomorfas de .
El jacobiano representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie: [2]
La superficie normal está dada por
El jacobiano conduce a una serie de propiedades importantes: , , , . Las pruebas se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: La representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima. [3] Las derivadas se pueden usar para construir la primera matriz de forma fundamental :
y la segunda matriz de forma fundamental
Finalmente, un punto en el plano complejo se asigna a un punto en la superficie mínima en por
dónde para todas las superficies mínimas a lo largo de este papel, excepto para la superficie mínima de Costa donde.
Superficies mínimas incrustadas y ejemplos
Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas integradas en con topología finita incluyen el plano, el catenoide , el helicoide y la superficie mínima de la Costa . La superficie de Costa involucra la función elíptica de Weierstrass : [4]
dónde es una constante. [5]
Helicatenoide
Elegir las funciones y , se obtiene una familia de un parámetro de superficies mínimas.
Elegir los parámetros de la superficie como :
En los extremos, la superficie es un catenoide. o un helicoide . De lo contrario,representa un ángulo de mezcla. La superficie resultante, con dominio elegido para evitar la auto-intersección, es una catenaria rotada alrededor de la eje en forma helicoidal.
Líneas de curvatura
Uno puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de y , por ejemplo
Y, en consecuencia, podemos simplificar la segunda matriz de forma fundamental como
Uno de sus vectores propios es
que representa la dirección principal en el dominio complejo. [6] Por lo tanto, las dos direcciones principales en el el espacio resulta ser
Ver también
- Familia asociada
- Superficie de Bryant , encontrada por una parametrización análoga en el espacio hiperbólico
Referencias
- ^ Dierkes, U .; Hildebrandt, S .; Küster, A .; Wohlrab, O. (1992). Superficies mínimas . vol. I. Springer. pag. 108. ISBN 3-540-53169-6.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Andersson, S .; Hyde, ST; Larsson, K .; Lidin, S. (1988). "Superficies y estructuras mínimas: desde cristales inorgánicos y metálicos hasta membranas celulares y biopolímeros". Chem. Rev . 88 (1): 221–242. doi : 10.1021 / cr00083a011 .
- ^ Sharma, R. (2012). "La representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima". arXiv : 1208.5689 [ math.DG ].
- ^ Lawden, DF (2011). Funciones y aplicaciones elípticas . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 80. Berlín: Springer. ISBN 978-1-4419-3090-3.
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tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Abbena, E .; Salamon, S .; Gray, A. (2006). "Superficies mínimas a través de variables complejas". Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica . Boca Ratón: CRC Press. págs. 719–766. ISBN 1-58488-448-7.
- ^ Hua, H .; Jia, T. (2018). "Corte de alambre de superficies mínimas de doble cara". La computadora visual . 34 (6–8): 985–995. doi : 10.1007 / s00371-018-1548-0 . S2CID 13681681 .