En geometría diferencial y geometría algebraica , la superficie Enneper es una superficie que se interseca automáticamente y que se puede describir paramétricamente mediante:
Fue introducido por Alfred Enneper en 1864 en relación con la teoría de la superficie mínima . [1] [2] [3] [4]
La parametrización de Weierstrass-Enneper es muy simple,, y la forma paramétrica real se puede calcular fácilmente a partir de ella. La superficie está conjugada consigo misma.
Los métodos de implícitaización de la geometría algebraica se pueden utilizar para averiguar que los puntos en la superficie de Enneper dados anteriormente satisfacen la ecuación polinomial de grado 9 [ cita requerida ]
Dualmente, el plano tangente en el punto con parámetros dados es dónde
Sus coeficientes satisfacen la ecuación polinomial implícita de grado 6
La curvatura jacobiana , gaussiana y la curvatura media son
La curvatura total es. Osserman demostró que una superficie mínima completa en con curvatura total es el catenoide o la superficie de Enneper. [5]
Otra propiedad es que todas las superficies Bézier bicúbicas mínimas son, hasta una transformación afín , piezas de la superficie. [6]
Se puede generalizar a simetrías rotacionales de orden superior utilizando la parametrización Weierstrass-Enneper para entero k> 1. [3] También se puede generalizar a dimensiones superiores; Se sabe que existen superficies similares a Enneper enpara n hasta 7. [7]
Referencias
- ^ JCC Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
- ^ Francisco J. López, Francisco Martín, Superficies mínimas completas en R3
- ↑ a b Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Superficies mínimas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de Enneper" . MathWorld .
- ^ R. Osserman, una encuesta de superficies mínimas. Vol. 1, Universidad de Cambridge. Press, Nueva York (1989).
- ^ Cosín, C., Monterde, Bézier superficies de mínima superficie. En Computational Science - ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. págs. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
- ^ Jaigyoung Choe, Sobre la existencia de la superficie de Enneper dimensional superior, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volumen 71, Número 1, pp 556-569
enlaces externos
- "Superficie de Enneper" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
- https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html