En matemáticas , una superficie Scherk (llamada así por Heinrich Scherk ) es un ejemplo de superficie mínima . Scherk describió dos superficies mínimas integradas completas en 1834; [1] su primera superficie es una superficie doblemente periódica, su segunda superficie es una sola vez periódica. Fueron los terceros ejemplos no triviales de superficies mínimas (los dos primeros fueron el catenoide y el helicoide ). [2] Las dos superficies son conjugados entre sí.
Las superficies de Scherk surgen en el estudio de ciertos problemas superficiales mínimos limitantes y en el estudio de difeomorfismos armónicos del espacio hiperbólico .
Primera superficie de Scherk
La primera superficie de Scherk es asintótica a dos familias infinitas de planos paralelos, ortogonales entre sí, que se encuentran cerca de z = 0 en un patrón de tablero de ajedrez de arcos puente. Contiene un número infinito de líneas verticales rectas.
Construcción de una superficie Scherk simple
Considere el siguiente problema de superficie mínima en un cuadrado en el plano euclidiano: para un número natural n , encuentre una superficie mínima Σ n como la gráfica de alguna función
tal que
Es decir, u n satisface la ecuación de superficie mínima
y
¿Cuál es, si es que hay algo, la superficie límite cuando n tiende al infinito? La respuesta fue dada por H. Scherk en 1834: la superficie límite Σ es la gráfica de
Es decir, la superficie de Scherk sobre el cuadrado es
Superficies Scherk más generales
Se pueden considerar problemas de superficie mínima similares en otros cuadriláteros en el plano euclidiano. También se puede considerar el mismo problema en cuadriláteros en el plano hiperbólico . En 2006, Harold Rosenberg y Pascal Collin utilizaron superficies Scherk hiperbólicas para construir un difeomorfismo armónico desde el plano complejo al plano hiperbólico (el disco unitario con la métrica hiperbólica), refutando así la conjetura de Schoen-Yau .
Segunda superficie de Scherk
La segunda superficie de Scherk se ve globalmente como dos planos ortogonales cuya intersección consiste en una secuencia de túneles en direcciones alternas. Sus intersecciones con planos horizontales consisten en hipérbolas alternas.
Tiene ecuación implícita:
Tiene la parametrización Weierstrass-Enneper , y se puede parametrizar como: [3]
por y . Esto da un período de la superficie, que luego se puede extender en la dirección z por simetría.
La superficie ha sido generalizada por H. Karcher en la familia de torres de silla de superficies mínimas periódicas.
De manera algo confusa, esta superficie se llama ocasionalmente la quinta superficie de Scherk en la literatura. [4] [5] Para minimizar la confusión, es útil referirse a ella como la superficie periódica única de Scherk o la torre de Scherk.
enlaces externos
- Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Scherk_surface" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Primera superficie de Scherk en geometría MSRI [2]
- Segunda superficie de Scherk en geometría MSRI [3]
- Superficies mínimas de Scherk en Mathworld [4]
Referencias
- ^ HF Scherk, Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volumen 13 (1835) págs. 185-208 [1]
- ^ http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Scherk.html
- ^ Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2a ed., CRC press 2002
- ^ Nikolaos Kapuoleas, Construcciones de superficies mínimas pegando inmersiones mínimas. En Teoría Global de Superficies Mínimas: Actas de la Escuela de Verano del Instituto Clay de Matemáticas 2001, Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, Berkeley, California, 25 de junio al 27 de julio de 2001 p. 499
- ^ David Hoffman y William H. Meeks, Límites de superficies mínimas y Quinta superficie de Scherk, Archivo para análisis y mecánica racional, Volumen 111, Número 2 (1990)