Paquete proyectivo

Por definición, un esquema X sobre un esquema noetheriano S es un paquete P ⁿ si es localmente un espacio n proyectivo; es decir, los automorfismos de transición son lineales. Sobre un sistema regular de S como una variedad lisa , cada paquete proyectiva es de la forma por algún paquete del vector (gavilla localmente libre) E . ^[1] ${\ Displaystyle X \ times _ {S} U \ simeq \ mathbb {P} _ {U} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (E)}$

Cada paquete de vectores sobre una variedad X da un paquete proyectivo tomando los espacios proyectivos de las fibras, pero no todos los paquetes proyectivos surgen de esta manera: hay una obstrucción en el grupo de cohomología H ² ( X , O *). Para ver por qué, recuerde que un paquete proyectivo viene equipado con funciones de transición en intersecciones dobles de una cubierta abierta adecuada. En superposiciones triples, cualquier elevación de estas funciones de transición satisface la condición de ciclo hasta una función invertible. La colección de estas funciones forma un ciclo 2 que se desvanece en H ² ( X, O *) solo si el paquete proyectivo es la proyectivización de un paquete vectorial. En particular, si X es una superficie de Riemann compacta, entonces H ² ( X , O *) = 0, por lo que esta obstrucción desaparece.

El haz proyectivo de un paquete del vector E es la misma cosa que el haz de Grassmann de 1-planos en E . ${\ Displaystyle G_ {1} (E)}$

El paquete proyectivo P ( E ) de un paquete vectorial E se caracteriza por la propiedad universal que dice: ^[2]

Por ejemplo, tomando f como p , se obtiene el subconjunto de línea O (-1) de p ^*E , llamado paquete de línea tautológico en P ( E ). Además, este O (-1) es un paquete universal en el sentido de que cuando un paquete lineal L da una factorización f = p ∘ g , L es el retroceso de O (-1) a lo largo de g . Ver también Cono # O (1) para una construcción más explícita de O(-1).

Sean E ⊂ F haces de vectores (haces libres localmente de rango finito) en X y G = F / E. Sea q : P ( F ) → X la proyección. Entonces el mapa natural O (-1) → q ^*F → q ^*G es una sección global de la gavilla hom Hom ( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1). Además, este mapa natural desaparece en un punto exactamente cuando el punto es una línea en E ; en otras palabras, el lugar geométrico cero de esta sección es P ( E ).