En matemáticas , el paquete universal en la teoría de los paquetes de fibras con un grupo de estructura de un grupo topológico determinado G , es un paquete específico sobre un espacio de clasificación BG , de modo que cada paquete con el grupo de estructura dado G sobre M es un retroceso por medio de un mapa continuo M → BG .
Existencia de un paquete universal
En la categoría del complejo CW
Cuando la definición del espacio de clasificación tiene lugar dentro de la categoría de homotopía de los complejos CW , los teoremas de existencia para los paquetes universales surgen del teorema de representabilidad de Brown .
Para grupos de Lie compactos
Primero probaremos:
- Proposición. Sea G un grupo de Lie compacto . Existe un espacio contráctil EG sobre el que G actúa libremente. La proyección EG → BG es un haz de fibras G -principal.
Prueba. Existe una inyección de G en un grupo unitario U ( n ) para n suficientemente grande. [1] Si encontramos EU ( n ), entonces podemos considerar que EG es EU ( n ) . La construcción de EU ( n ) se da en el espacio de clasificación para U ( n ) .
El siguiente teorema es un corolario de la proposición anterior.
- Teorema. Si M es una variedad paracompacta y P → M es un paquete G principal , entonces existe un mapa f : M → BG , único hasta la homotopía, tal que P es isomorfo af ∗ ( EG ) , el retroceso de el paquete G EG → BG por f .
Prueba. Por un lado, el retroceso del paquete π : EG → BG por la proyección natural P × G EG → BG es el paquete P × EG . Por otro lado, el retroceso del paquete G principal P → M por la proyección p : P × G EG → M también es P × EG
Dado que p es una fibración con fibra contráctil EG , existen secciones de p . [2] A tal sección s asociamos la composición con la proyección P × G EG → BG . El mapa que obtenemos es el f que estábamos buscando.
Para la unicidad hasta la homotopía, observe que existe una correspondencia uno a uno entre los mapas f : M → BG tal que f ∗ ( EG ) → M es isomorfo a P → M y secciones de p . Acabamos de ver cómo asociar una f a una sección. A la inversa, suponga que se da f . Sea Φ: f ∗ ( EG ) → P un isomorfismo:
Ahora, simplemente defina una sección por
Debido a que todas las secciones de p son homotópicas, la clase de homotopía de f es única.
Uso en el estudio de acciones grupales
El espacio total de un paquete universal generalmente se escribe EG . Estos espacios son de interés por derecho propio, a pesar de ser típicamente contraíbles . Por ejemplo, al definir el cociente de homotopía o el espacio orbital de homotopía de una acción grupal de G , en los casos en que el espacio orbital es patológico (en el sentido de ser un espacio no de Hausdorff , por ejemplo). La idea, si G actúa sobre el espacio X , es considerar en cambio la acción sobre Y = X × EG , y el cociente correspondiente. Ver cohomología equivariante para una discusión más detallada.
Si EG es contráctil, entonces X e Y son espacios equivalentes de homotopía . Pero la acción diagonal sobre Y , es decir, donde G actúa sobre las coordenadas X y EG , puede comportarse bien cuando la acción sobre X no lo es.
Ejemplos de
Ver también
- Clase Chern
- paquete tautológico , un paquete universal para el grupo lineal general.
enlaces externos
Notas
- ^ JJ Duistermaat y JA Kolk, - Grupos de mentiras , Universitext, Springer. Corolario 4.6.5
- ^ A. ~ Dold - Particiones de unidad en la teoría de las fibras , Annals of Mathematics, vol. 78, No 2 (1963)