En geometría algebraica, un cono es una generalización de un conjunto de vectores . Específicamente, dado un esquema X , la especificación relativa
de un cuasi-coherente graduada O X -algebra R se llama el cono o cono afín de R . Del mismo modo, el relativo Proj
se llama el cono proyectivo de C o R .
Nota : el cono viene con el-acción debida a la calificación de R ; esta acción es parte de los datos de un cono (de ahí la terminología).
Ejemplos de
- Si X = Spec k es un punto y R es un anillo de coordenadas homogéneas , entonces el cono afín de R es la (habitual) cono afín sobre la variedad proyectiva correspondiente a R .
- Si para una gavilla ideal yo , entonceses el cono normales con el esquema cerrado determinado por I .
- Si para algún paquete de líneas L , entonceses el espacio total de la dual de L .
- De manera más general, dado un paquete de vectores (haz localmente libre de rango finito) E en X , si R = Sym ( E * ) es el álgebra simétrica generada por el dual de E , entonces el conoes el espacio total de E , a menudo escrito como E , y el cono proyectivoes el paquete proyectivo de E , que se escribe como.
- Dejar ser un haz coherente sobre una pila Deligne-Mumford X . Entonces deja[1] Para cualquier, dado que Global Spec es un adjunto derecho al functor de imagen directo, tenemos: ; En particular,es un esquema de grupo conmutativo sobre X .
- Sea R un graduado-algebra tal que y es coherente y genera localmente R como-álgebra. Luego hay una inmersión cerrada
- dada por . Debido a esto, se llama el casco abeliano del cono Por ejemplo, si para alguna gavilla ideal I , entonces esta incrustación es la incrustación del cono normal en el paquete normal.
Computaciones
Considere el ideal de intersección completo y deja ser el esquema proyectivo definido por la gavilla ideal . Entonces, tenemos el isomorfismo de-álgebras viene dado por [ cita requerida ]
Propiedades
Si es un homomorfismo graduado de álgebras O X graduadas , entonces se obtiene un morfismo inducido entre los conos:
- .
Si el homomorfismo es sobreyectivo, entonces se obtienen inmersiones cerradas.
En particular, suponiendo que R 0 = O X , la construcción se aplica a la proyección(que es un mapa de aumento ) y da
- .
Es una sección; es decir, es la identidad y se llama incrustación de sección cero.
Considere el álgebra graduada R [ t ] con la variable t de grado uno: explícitamente, la pieza de n -ésimo grado es
- .
Entonces su cono afín se denota por . El cono proyectivose llama la terminación proyectiva de C R . De hecho, el lugar geométrico cero t = 0 es exactamentey el complemento es el subesquema abierto C R . El locus t = 0 se llama hiperplano en el infinito.
O (1)
Sea R un álgebra O X graduada cuasi coherente tal que R 0 = O X y R se genera localmente como O X -algebra por R 1 . Entonces, por definición, el cono proyectivo de R es:
donde se ejecuta la colímite más de subconjuntos abiertos afines U de X . Suponiendo que R ( U ) tiene un número finito de generadores de grado uno x i . Por lo tanto,
Luego tiene el paquete de líneas O (1) dado por el paquete de hiperplano de ; pegar tales O (1) locales , que concuerdan localmente, da el paquete de líneas O (1) en.
Para cualquier número entero n , también se escribe O ( n ) para la n -ésima potencia del tensor de O (1). Si el cono C = Spec X R es el espacio total de un paquete de vectores E , entonces O (-1) es el paquete de líneas tautológicas en el paquete proyectivo P ( E ).
Observación : Cuando los generadores (locales) de R tienen un grado diferente a uno, la construcción de O (1) todavía pasa pero con un espacio proyectivo ponderado en lugar de un espacio proyectivo; por lo que el O (1) resultante no es necesariamente un paquete de líneas. En el lenguaje del divisor , este O (1) corresponde a un divisor Q- Cartier.
Notas
- ^ Behrend – Fantechi , § 1.
Referencias
Notas de lectura
- Fantechi, Barbara, Introducción a la teoría de la intersección (PDF)
Referencia
- Behrend, K .; Fantechi, B. (1 de marzo de 1997). "El cono normal intrínseco". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. doi : 10.1007 / s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
- William Fulton. (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- § 8 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .