Paquete asociado

En matemáticas , la teoría de los haces de fibras con un grupo de estructura (un grupo topológico ) permite una operación de creación de un haz asociado , en el que la fibra típica de un haz cambia de a , que son ambos espacios topológicos con una acción grupal de . Para un haz de fibras F con grupo de estructura G , las funciones de transición de la fibra (es decir, el ciclociclo ) en una superposición de dos sistemas de coordenadas U _α y U _β se dan como G${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle G}$-función g _αβ sobre U _α ∩ U _β . A continuación, se puede construir un haz de fibras F 'como un nuevo haz de fibras que tenga las mismas funciones de transición, pero posiblemente una fibra diferente.

Un ejemplo

Un caso simple viene con la tira de Möbius , para la cual es el grupo cíclico de orden 2 ,. Podemos tomar como cualquiera de: la recta numérica real , el intervalo , la recta numérica real menos el punto 0, o el conjunto de dos puntos . La acción de sobre estos (el elemento no identitario que actúa como en cada caso) es comparable, en un sentido intuitivo. Podríamos decir más formalmente en términos de pegar dos rectángulos y juntos: lo que realmente necesitamos son los datos para identificarse a sí mismos directamente en un extremo y con el giro en el otro extremo . Estos datos se pueden escribir como una función de parcheo, con valores en${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-1,\ 1]}$${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\ \rightarrow \ -x}$${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$${\displaystyle [-1,\ 1]}$G . La construcción del paquete asociado es solo la observación de que estos datos funcionan tan bien como para .${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$${\displaystyle [-1,\ 1]}$

Construcción

En general, basta con explicar la transición de un haz con fibra , sobre el que actúa, al haz principal asociado (es decir, el haz donde está la fibra , que se considera que actúa por traslación sobre sí misma). Para entonces podemos pasar de a , a través del paquete principal. Los detalles en términos de datos para una cubierta abierta se dan como un caso de descenso .${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

Esta sección está organizada de la siguiente manera. Primero presentamos el procedimiento general para producir un paquete asociado, con fibra especificada, a partir de un paquete de fibras dado. Esto luego se especializa en el caso en el que la fibra especificada es un espacio principal homogéneo para la acción izquierda del grupo sobre sí mismo, produciendo el haz principal asociado. Si, además, se da una acción correcta sobre la fibra del haz principal, describimos cómo construir cualquier haz asociado por medio de una construcción de producto de fibra . ^[1]

Paquetes asociados en general

Deje π: E → X sea un haz de fibras sobre un espacio topológico X con el grupo de estructura G y fibra típica F . Por definición, hay una acción izquierda de G (como un grupo de transformaciones ) sobre la fibra F . Supongamos además que esta acción es eficaz . ^[2] Hay una trivialización local del paquete E que consiste en una cubierta abierta U _i de X y una colección de mapas de fibra.

φ _yo  : π ⁻¹ ( U _yo ) → U _yo × F

de tal manera que los mapas de transición están dadas por los elementos de G . Más precisamente, hay funciones continuas g _ij  : ( U _i ∩ U _j ) → G tales que

ψ _ij ( u , f ): = φ _i o φ _j ^-1 ( u , f ) = ( u , g _ij ( u ) f ) para cada uno ( u , f ) ∈ ( U _i ∩ U _j ) x F .

Ahora vamos a F 'un espacio topológico especificado, equipado con una acción continua izquierda de G . Entonces el paquete asociado con E con fibra F ′ es un paquete E ′ con una trivialización local subordinada a la cubierta U _i cuyas funciones de transición están dadas por

ψ ′ _ij ( u , f ′) = ( u , g _ij ( u ) f ′) para ( u , f ′) ∈ ( U _i ∩ U _j ) × F ′

en el que el G -valued funciones g _ij ( u ) son los mismos que los obtenidos de la trivialización local del haz original de E .

Esta definición respeta claramente la condición de ciclo de las funciones de transición, ya que en cada caso están dadas por el mismo sistema de funciones valoradas en G. (Usando otra trivialización local, y pasando a un refinamiento común si es necesario, la transformación g _{ij a} través del mismo co-límite). Por lo tanto, según el teorema de construcción de haces de fibras , esto produce un haz de fibras E ′ con fibra F ′ como se afirma.

Haz principal asociado con un haz de fibras

Como antes, supongamos que E es un haz de fibras con el grupo de estructura G . En el caso especial cuando G tiene una acción izquierda libre y transitiva sobre F ′, de modo que F ′ es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda de G sobre sí mismo, entonces el paquete asociado E ′ se llama el paquete G principal asociado con el haz de fibras E . Si, además, la nueva fibra F ′ se identifica con G (de modo que F ′ hereda una acción derecha de G así como una acción izquierda), entonces la acción derecha de Gsobre F ′ induce una acción derecha de G sobre E ′. Con esta elección de identificación, E ′ se convierte en un paquete principal en el sentido habitual. Tenga en cuenta que, aunque no existe una forma canónica de especificar una acción correcta en un espacio homogéneo principal para G , dos acciones cualesquiera producirán haces principales que tienen el mismo haz de fibras subyacente con el grupo de estructura G (ya que esto proviene de la acción izquierda de G ), e isomórficos como espacios G en el sentido de que hay un isomorfismo G -equivariante de haces que relacionan los dos.

De esta manera, un paquete G principal equipado con una acción correcta se considera a menudo como parte de los datos que especifican un paquete de fibras con el grupo de estructura G , ya que en un paquete de fibras se puede construir el paquete principal mediante la construcción del paquete asociado. Entonces, como en la siguiente sección, se puede ir al revés y derivar cualquier haz de fibras utilizando un producto de fibra.

Paquete de fibra asociado a un paquete principal

Sea π: P → X un paquete G principal y sea ρ: G → Homeo ( F ) una acción izquierda continua de G en un espacio F (en la categoría suave, deberíamos tener una acción suave en una variedad suave) . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar esta acción para que sea efectiva.

Defina una acción correcta de G en P × F mediante ^{[3] [4]}

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

A continuación, identificamos por esta acción para obtener el espacio E = P × _ρ F = ( P x F ) / G . Denote la clase de equivalencia de ( p , f ) por [ p , f ]. Tenga en cuenta que

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.}$

Defina un mapa de proyección π _ρ  : E → X por π _ρ ([ p , f ]) = π ( p ). Tenga en cuenta que esto está bien definido .

Entonces pi _rho  : E → X es un haz de fibras con fibra de F y el grupo de estructura G . Las funciones de transición están dadas por ρ ( t _ij ) donde t _ij son las funciones de transición del fibrado principal P .

Reducción del grupo de estructura

Más información: reducción del grupo de estructura

El concepto que acompaña a los paquetes asociados es la reducción del grupo de estructura de un paquete . Preguntamos si hay un paquete , tal que el paquete asociado sea , hasta el isomorfismo . Más concretamente, esto pregunta si los datos de transición para se pueden escribir de manera consistente con valores en . En otras palabras, pedimos identificar la imagen del mapeo de paquete asociado (que en realidad es un funtor ).${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$

Ejemplos de reducción

Los ejemplos de paquetes de vectores incluyen: la introducción de una métrica que da como resultado la reducción del grupo de estructura de un grupo lineal general GL ( n ) a un grupo ortogonal O ( n ); y la existencia de una estructura compleja en un paquete real que da como resultado la reducción del grupo de estructura de un grupo lineal general real GL (2 n , R ) a un grupo lineal general complejo GL ( n , C ).

Otro caso importante es encontrar una descomposición de un paquete del vector V de rango n como una suma Whitney (suma directa) de sub-haces de rango k y nk , resultando en la reducción del grupo estructura de GL ( n , R ) a GL ( k , R ) × GL ( nk , R ).

También se puede expresar la condición para que una foliación se defina como una reducción del haz tangente a un subgrupo de matriz de bloques, pero aquí la reducción es solo una condición necesaria, existiendo una condición de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .

Ver también

• Paquete Spinor

Referencias

1. Todas estas construcciones se deben a Ehresmann (1941-3). Atribuido por Steenrod (1951) página 36
2. eficacia es un requisito común para los haces de fibras; véase Steenrod (1951). En particular, esta condición es necesaria para asegurar la existencia y unicidad del haz principal asociado con E .
3. Husemoller, Dale (1994), p. 45.
4. Sharpe, RW (1997), p. 37.

Libros

• Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.